Derive sec(x) / (1 + tan(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação de quocientes e as derivadas das funções trigonométricas secante e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:

Passo 3

Vamos definir e . Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .
A derivada de é :
A derivada de é a derivada de , que é :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Podemos fatorar :
Lembrando que , substituímos na expressão:

Passo 6

Agora, substituímos de volta no denominador :
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e denominador por :
Não há mais simplificações diretas, então essa é a derivada final.

Resposta

A derivada da função é:

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