Dada a superfície , encontre a equação da reta tangente à curva de interseção com o plano no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície dada por e um plano . Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva de interseção desses dois no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de derivadas para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Como é sempre 1 nesse plano, substituímos por 1 na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é descrita por e .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva. Vamos usar como parâmetro, já que a equação está em termos de :
Podemos escrever o vetor posição da curva como:
Passo 4
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor direcional da curva nesse ponto. Isso se obtém calculando a derivada do vetor posição em relaç��o a :
No ponto , , então:
Esse é o vetor direcional da reta tangente.
Passo 5
Agora que temos o ponto e o vetor direcional , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Usamos a forma: