Dada a superfície z = x^2 - y^2, encontre a equação da reta tangente à curva de interseção com o plano x = 1 no ponto (1, -1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície dada por e um plano . Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva de interseção desses dois no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de derivadas para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Como é sempre 1 nesse plano, substituímos por 1 na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é descrita por e .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Vamos usar como parâmetro, já que a equação está em termos de :
Podemos escrever o vetor posição da curva como:

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor direcional da curva nesse ponto. Isso se obtém calculando a derivada do vetor posição em relaç��o a :
No ponto , , então:
Esse é o vetor direcional da reta tangente.

Passo 5

Agora que temos o ponto e o vetor direcional , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Usamos a forma:
Onde e . Assim, a equação fica:
Ou simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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