Mostre que em P3 qualquer vetor é combinação linear de 1,1+t, 1+t+t^2 e 1+t+t^2+t^3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, qualquer vetor (ou seja, qualquer polinômio nesse espaço) pode ser escrito como uma combinação linear de , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que um vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 + d cdot v4 é uma combinação linear de outros vetores a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 = A cdot 1 + B cdot (1 + t) + C cdot (1 + t + t^2) + D cdot (1 + t + t^2 + t^3) se existeem coeficientes tais que:
No nosso caso, queremos mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
A cdot 1 + B cdot (1 + t) + C cdot (1 + t + t^2) + D cdot (1 + t + t^2 + t^3) = A + B(1) + B(t) + C(1) + C(t) + C(t^2) + D(1) + D(t) + D(t^2) + D(t^3)
Simplificando:
(A + B + C + D) + (B + C + D)t + (C + D)t^2 + D t^3

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B + C + D = a0 B + C + D = a1 C + D = a2 D = a3

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar em termos de :
  1. Da última equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:
  4. Finalmente, substituindo na primeira equação:

Resposta

Portanto, qualquer polinômio p(t) = (a0 - a1) cdot 1 + (a1 - a2) cdot (1 + t) + (a2 - a3) cdot (1 + t + t^2) + a3 cdot (1 + t + t^2 + t^3) em pode ser escrito como:
Assim, mostramos que qualquer vetor em é uma combinação linear de , , e .

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