Mostre que em qualquer vetor é combinação linear de e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, qualquer vetor (ou seja, qualquer polinômio nesse espaço) pode ser escrito como uma combinação linear de , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear de outros vetores se existeem coeficientes tais que:
No nosso caso, queremos mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar em termos de :
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Finalmente, substituindo na primeira equação:
Resposta
Portanto, qualquer polinômio p(t) = (a0 - a1) cdot 1 + (a1 - a2) cdot (1 + t) + (a2 - a3) cdot (1 + t + t^2) + a3 cdot (1 + t + t^2 + t^3) em pode ser escrito como:
Assim, mostramos que qualquer vetor em é uma combinação linear de , , e .