Verifique se o vetor (1,4,2) in R^3 é combinação linear de (1,2,0) e (-1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer saber se o vetor no espaço pode ser formado combinando de forma linear os vetores e . Isso significa que queremos ver se existe algum número que, multiplicado por cada um desses vetores e depois somados, dá exatamente o vetor que a gente quer. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e montar umas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os coeficientes desses vetores de (1, 4, 2) = x cdot (1, 2, 0) + y cdot (-1, 1, 1) e . Então, a combinação linear fica assim:
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual quando a gente faz a combinação.

Passo 3

Agora, vamos escrever isso componente por componente:
1 = x cdot 1 + y cdot (-1) (componente x)
4 = x cdot 2 + y cdot 1 (componente y)
2 = x cdot 0 + y cdot 1 (componente z)
Assim, temos um sistema de três equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos simplificar essas equações:
  1. Da primeira equação:
1 = x - y Rightarrow x = 1 + y
  1. Da terceira equação:
2 = 0 cdot x + y Rightarrow y = 2
Agora que sabemos que x = 1 + 2 = 3 , podemos substituir na expressão de :

Passo 5

Vamos verificar se esses valores de 4 = 2 cdot 3 + 2 cdot 1 = 6 + 2 = 8 e satisfazem a segunda equação:
Hmm, isso não bate! A segunda equação deu de um lado e do outro, o que não é verdade.

Resposta

Não, o vetor não é combinação linear de e .

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