Seja a função tabelada:
x -2 -1 1 2
f(x) 0 1 -1 0
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando a fórmula de Newton! O que a gente tem aqui é uma tabela com alguns valores de e suas correspondentes . Nosso objetivo é encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Para isso, vamos precisar entender o método de diferenças divididas de Newton e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Nosso primeiro passo é construir uma tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas nos ajudam a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.

Passo 3

Começamos preenchendo a primeira coluna das diferenças divididas com os próprios valores de :

Passo 4

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas usando a fórmula:
Vamos fazer isso para cada par de pontos adjacentes:
  • Entre -2 e -1:
  • Entre -1 e 1:
  • Entre 1 e 2:
Atualizando a tabela:

Passo 5

Vamos calcular agora as segundas diferenças divididas, que dependem das primeiras:
  • Entre -2, -1 e 1:
  • Entre -1, 1 e 2:
Atualizando a tabela:

Passo 6

Por último, calculamos a terceira diferença dividida:
  • Entre -2, -1, 1 e 2:
Tabela completa:

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral é:
Aplicando nossos valores:

Passo 8

Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandimos cada termo:
Podemos fatorar e :
Simplificando dentro do colchete:
Portanto:
Multiplicando:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton é:

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