Seja a função tabelada:
|
-2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 1 | -1 | 0 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando a fórmula de Newton! O que a gente tem aqui é uma tabela com alguns valores de
e suas correspondentes
. Nosso objetivo é encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Para isso, vamos precisar entender o método de diferenças divididas de Newton e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Nosso primeiro passo é construir uma tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas nos ajudam a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Passo 3
Começamos preenchendo a primeira coluna das diferenças divididas com os próprios valores de
:
Passo 4
Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas usando a fórmula:
Vamos fazer isso para cada par de pontos adjacentes:
-
Entre -2 e -1:
-
Entre -1 e 1:
-
Entre 1 e 2:
Atualizando a tabela:
Passo 5
Vamos calcular agora as segundas diferenças divididas, que dependem das primeiras:
-
Entre -2, -1 e 1:
-
Entre -1, 1 e 2:
Atualizando a tabela:
Passo 6
Por último, calculamos a terceira diferença dividida:
- Entre -2, -1, 1 e 2:
Tabela completa:
Passo 7
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral é:
Aplicando nossos valores:
Passo 8
Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandimos cada termo:
Podemos fatorar
e
:
Simplificando dentro do colchete:
Portanto:
Multiplicando:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton é: