(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma tabela com alguns valores de e seus respectivos logaritmos naturais, . A missão aqui é estimar o valor de usando duas técnicas de interpolação: a linear e a quadrática. Pra isso, vamos precisar entender como funciona cada interpolação e aplicar os pontos mais próximos na tabela para chegar na nossa estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a interpolação linear. Essa técnica usa dois pontos próximos do valor que queremos estimar para desenhar uma linha reta e calcular o valor aproximado.
Olhemos para a tabela:
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-2.303
-1.609
-1.204
-0.916
-0.693
Queremos estimar . Observando, está entre e . Então vamos usar esses dois pontos: e .
A fórmula da interpolação linear é:
Onde e .
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos para a interpolação quadrática. Essa técnica usa três pontos próximos para ajustar uma parábola que passa por eles, proporcionando uma estimativa mais precisa.
Vamos escolher os pontos , e .
Queremos encontrar um polinômio de segundo grau da forma:
Que satisfaz:
Resolvendo o sistema de equações:
Simplificando:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda da terceira:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação original: