Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma tabela com alguns valores de e seus respectivos logaritmos naturais, . A missão aqui é estimar o valor de usando duas técnicas de interpolação: a linear e a quadrática. Pra isso, vamos precisar entender como funciona cada interpolação e aplicar os pontos mais próximos na tabela para chegar na nossa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a interpolação linear. Essa técnica usa dois pontos próximos do valor que queremos estimar para desenhar uma linha reta e calcular o valor aproximado.
Olhemos para a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
Queremos estimar . Observando, está entre e . Então vamos usar esses dois pontos: e .
A fórmula da interpolação linear é:
Onde e .
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos para a interpolação quadrática. Essa técnica usa três pontos próximos para ajustar uma parábola que passa por eles, proporcionando uma estimativa mais precisa.
Vamos escolher os pontos , e .
Queremos encontrar um polinômio de segundo grau da forma:
Que satisfaz:
Resolvendo o sistema de equações:
Simplificando:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda da terceira:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação original:
Então, o polinômio é:
Agora, calculamos :

Resposta

Usando interpolação linear, estimamos que .
Com interpolação quadrática, a estimativa é .

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Mostre que, se e , então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como