integral cotg(1 / x)x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve a função cotangente. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples que vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso significa que estamos definindo uma nova variável que é o inverso de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -1x^2 em relação a du = -1x^2 , dx para substituir dx = -x^2 , du . Então, derivando ambos os lados:
1x^2 , dx = -du
Isso significa que:
Ou seja, podemos rearranjar para encontrar :
Mas observe que na nossa integral original temos , então substituindo:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral cot(1x)x^2 , dx = integral cot(u) cdot (-du) = -integral cot(u) , du
Agora, a integral ficou bem mais simples: .

Passo 5

Sabemos que a integral da cotangente é:
integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C
Portanto, nossa expressão fica:
-integral cot(u) , du = -ln|sin(u)| + C

Passo 6

Agora, substituímos de volta -ln|sin(1x)| + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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