Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre interpolação linear, que é um método para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Precisamos mostrar que, dado que os pontos
estão igualmente espaçados (
) e que
está entre
e
, a função interpolante linear pode ser escrita de uma forma específica usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é interpolação linear. Basicamente, ela busca uma reta que passe por dois pontos dados, digamos
e
. A ideia é encontrar uma expressão para
, que dá o valor interpolado de
para qualquer
entre
e
.
Passo 3
Sabemos que a fórmula geral da interpolação linear entre dois pontos é:
Aqui,
representa a inclinação da reta que conecta os pontos
e
.
Passo 4
Vamos definir a variável
como:
Esse
representa a posição relativa de
entre
e
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da interpolação linear, temos:
Essa expressão mostra que o interpolante linear pode ser escrito de forma a depender diretamente de
, facilitando cálculos e interpretações.
Resposta
Então, mostramos que o interpolante linear pode ser escrito como:
Exercícios relacionados
Seja a função tabelada:
|
-2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 1 | -1 | 0 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.
Dada a função tabelada:
|
0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de
)
Mostre que, se
e
, então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(a) Estimar
através de interpolação linear e quadrática.