Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre interpolação linear, que é um método para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Precisamos mostrar que, dado que os pontos
estão igualmente espaçados (
) e que
está entre
e
, a função interpolante linear pode ser escrita de uma forma específica usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é interpolação linear. Basicamente, ela busca uma reta que passe por dois pontos dados, digamos
e
. A ideia é encontrar uma expressão para
, que dá o valor interpolado de
para qualquer
entre
e
.
Passo 3
Sabemos que a fórmula geral da interpolação linear entre dois pontos é:
Aqui,
representa a inclinação da reta que conecta os pontos
e
.
Passo 4
Vamos definir a variável
como:
Esse
representa a posição relativa de
entre
e
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da interpolação linear, temos:
Essa expressão mostra que o interpolante linear pode ser escrito de forma a depender diretamente de
, facilitando cálculos e interpretações.
Resposta
Então, mostramos que o interpolante linear pode ser escrito como: