Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre interpolação linear, que é um método para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Precisamos mostrar que, dado que os pontos estão igualmente espaçados ( ) e que está entre e , a função interpolante linear pode ser escrita de uma forma específica usando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interpolação linear. Basicamente, ela busca uma reta que passe por dois pontos dados, digamos e . A ideia é encontrar uma expressão para , que dá o valor interpolado de para qualquer entre e .

Passo 3

Sabemos que a fórmula geral da interpolação linear entre dois pontos é:
Aqui, representa a inclinação da reta que conecta os pontos e .

Passo 4

Vamos definir a variável como:
Esse representa a posição relativa de entre e . Quando , , e quando , .

Passo 5

Substituindo na fórmula da interpolação linear, temos:
Essa expressão mostra que o interpolante linear pode ser escrito de forma a depender diretamente de , facilitando cálculos e interpretações.

Resposta

Então, mostramos que o interpolante linear pode ser escrito como:

Exercícios relacionados

Seja a função tabelada:
-2 -1 1 2
0 1 -1 0
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.
Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de )
Mostre que, se e , então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.