Mostre que, se x0 < x1 < x2, x1 - x0 = x2 - x1 e x0 < x < x2, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
P1(x) = y0 + mu * (y1 - y0), mu = (x - x0) / (x1 - x0)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre interpolação linear, que é um método para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Precisamos mostrar que, dado que os pontos estão igualmente espaçados ( ) e que está entre e , a função interpolante linear pode ser escrita de uma forma específica usando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interpolação linear. Basicamente, ela busca uma reta que passe por dois pontos dados, digamos e . A ideia é encontrar uma expressão para , que dá o valor interpolado de para qualquer entre e .

Passo 3

Sabemos que a fórmula geral da interpolação linear entre dois pontos é:
Aqui, representa a inclinação da reta que conecta os pontos e .

Passo 4

Vamos definir a variável como:
Esse representa a posição relativa de entre e . Quando , , e quando , .

Passo 5

Substituindo na fórmula da interpolação linear, temos:
Essa expressão mostra que o interpolante linear pode ser escrito de forma a depender diretamente de , facilitando cálculos e interpretações.

Resposta

Então, mostramos que o interpolante linear pode ser escrito como:

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