integral 5 d xx^3+4 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples pra facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro passo é fatorar o denominador x^3 + 4x = x(x^2 + 4) . Dá pra fatorar um x comum:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com o denominador fatorado:
integral 5x(x^2 + 4) dx

Passo 4

Vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes 5x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4 , e tal que:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 5 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x pra eliminar os denominadores:
5 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x
Simplificando:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
5 = (A + B)x^2 + Cx + 4A
Como isso precisa ser verdadeiro pra todo valor de , igualamos os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 7

Vamos resolver essas equações:
  • De , temos
  • De , substituindo A,
  • E já sabemos que

Passo 8

Substituímos os valores de 5x(x^2+4) = 54x + -54xx^2 + 4 , e na expressão das frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x(x^2 +4) dx = 54 integral 1x dx - 54 integral xx^2 +4 dx

Passo 10

Resolvendo as integrais:
54 ln|x| - 58 ln|x^2 +4| + C

Resposta

A integral vale

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