Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples pra facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro passo é fatorar o denominador . Dá pra fatorar um x comum:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com o denominador fatorado:

Passo 4

Vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tal que:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por pra eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
Como isso precisa ser verdadeiro pra todo valor de , igualamos os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 7

Vamos resolver essas equações:
  • De , temos
  • De , substituindo A,
  • E já sabemos que

Passo 8

Substituímos os valores de , e na expressão das frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

Resolvendo as integrais:

Resposta

A integral vale

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Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
Mostre que, se e , então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como