Mostre que, se
e
, então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos
igualmente espaçados, ou seja,
. Além disso, o valor de
está entre
e
. A tarefa é mostrar que o interpolante quadrático
pode ser escrito da forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interpolação polinomial, especificamente como construir um interpolante quadrático a partir de valores dados.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um interpolante linear,
. Esse é o polinômio de primeiro grau que passa por dois pontos, digamos
e
. A forma geral do interpolante linear é:
Isso representa uma linha reta que conecta os dois pontos dados.
Passo 3
Agora, queremos construir um interpolante quadrático,
, que passa pelos três pontos
,
e
. Um polinômio quadrático tem a forma geral:
Nosso objetivo é encontrar uma relação que liga
com
e as diferenças entre os valores de
.
Passo 4
Como os pontos são igualmente espaçados, podemos definir
. Além disso, introduzimos um parâmetro
tal que
, onde
está entre -1 e 1, já que
está entre
e
.
Passo 5
Sabemos que o interpolante linear
pode ser escrito em termos de
como:
Isso porque estamos interpolando de forma simétrica entre
e
em relação a
.
Passo 6
Para obter o interpolante quadrático, adicionamos uma correção baseada na segunda diferença das ordens de
:
A fórmula do interpolante quadrático então se torna:
Substituindo
pela expressão acima, obtemos a fórmula desejada.
Resposta
Assim, mostramos que o interpolante quadrático é dado por
Exercícios relacionados
Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
Seja a função tabelada:
|
-2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 1 | -1 | 0 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.
Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(a) Estimar
através de interpolação linear e quadrática.