Mostre que, se x0 < x1 < x2, x1 - x0 = x2 - x1 e x0 < x < x2, então:
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
P2(x) = P1(x) + (mu(mu-1)/2) * [(y2 - y1) - (y1 - y0)]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos igualmente espaçados, ou seja, . Além disso, o valor de está entre e . A tarefa é mostrar que o interpolante quadrático pode ser escrito da forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interpolação polinomial, especificamente como construir um interpolante quadrático a partir de valores dados.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um interpolante linear, . Esse é o polinômio de primeiro grau que passa por dois pontos, digamos e . A forma geral do interpolante linear é:
Isso representa uma linha reta que conecta os dois pontos dados.

Passo 3

Agora, queremos construir um interpolante quadrático, , que passa pelos três pontos , e . Um polinômio quadrático tem a forma geral:
Nosso objetivo é encontrar uma relação que liga com e as diferenças entre os valores de .

Passo 4

Como os pontos são igualmente espaçados, podemos definir . Além disso, introduzimos um parâmetro tal que , onde está entre -1 e 1, já que está entre e .

Passo 5

Sabemos que o interpolante linear pode ser escrito em termos de como:
Isso porque estamos interpolando de forma simétrica entre e em relação a .

Passo 6

Para obter o interpolante quadrático, adicionamos uma correção baseada na segunda diferença das ordens de :
A fórmula do interpolante quadrático então se torna:
Substituindo pela expressão acima, obtemos a fórmula desejada.

Resposta

Assim, mostramos que o interpolante quadrático é dado por

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