Dada a tabela
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) -1 alpha 5 beta 7 gamma 13
calcule alpha, beta e gamma, sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui! A gente recebeu uma tabela com valores de f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d para vários valores de , mas faltam alguns valores: , e . A missão é encontrar esses valores sabendo que é um polinômio de grau 3. Isso significa que a função pode ser escrita na forma:
Para resolver isso, vamos precisar usar os pontos que já conhecemos na tabela para montar um sistema de equações e resolver para , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos usar os valores que já temos para montar as equações. Sabemos que:
  • Quando -1 = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d Rightarrow d = -1 , 5 = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d Rightarrow 8a + 4b + 2c - 1 = 5 Rightarrow 8a + 4b + 2c = 6
  • Quando 7 = a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) + d Rightarrow 64a + 16b + 4c - 1 = 7 Rightarrow 64a + 16b + 4c = 8 , 13 = a(6)^3 + b(6)^2 + c(6) + d Rightarrow 216a + 36b + 6c - 1 = 13 Rightarrow 216a + 36b + 6c = 14
  • Quando 8a + 4b + 2c = 6 64a + 16b + 4c = 8 216a + 36b + 6c = 14 ,
  • Quando ,
Vamos substituir esses valores na equação do polinômio:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas ( , , ):

Passo 3

Vamos simplificar e resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos dividir cada equação para facilitar:
  1. Dividindo a primeira equação por 2:
4a + 2b + c = 3 (1)
  1. Dividindo a segunda equação por 4:
16a + 4b + c = 2 (2)
  1. Dividindo a terceira equação por 6:
36a + 6b + c = 146 approx 2.333 (3)
Agora, vamos eliminar (16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = 2 - 3 Rightarrow 12a + 2b = -1 (4) subtraindo as equações:
  • Subtraia a equação (1) da equação (2):
(36a + 6b + c) - (16a + 4b + c) = 2.333 - 2 Rightarrow 20a + 2b = 0.333 (5)
  • Subtraia a equação (2) da equação (3):
12a + 2b = -1 20a + 2b = 0.333
Agora, temos um novo sistema com as equações (4) e (5):
(20a + 2b) - (12a + 2b) = 0.333 - (-1) Rightarrow 8a = 1.333 Rightarrow a = 1.3338 approx 0.1667
Vamos subtrair a equação (4) da equação (5):
12(0.1667) + 2b = -1 Rightarrow 2 + 2b = -1 Rightarrow 2b = -3 Rightarrow b = -1.5
Agora que temos 4(0.1667) + 2(-1.5) + c = 3 Rightarrow 0.6668 -3 + c = 3 Rightarrow c = 5.3332 , vamos encontrar usando a equação (4):
Finalmente, encontramos usando a equação (1):

Resposta

Com os valores de f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0.1667(1) + (-1.5)(1) + 5.3332(1) -1 approx 0.1667 -1.5 + 5.3332 -1 = 2 , f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d = 0.1667(27) + (-1.5)(9) + 5.3332(3) -1 approx 4.5 -13.5 + 16 -1 = 6 e f(5) = a(5)^3 + b(5)^2 + c(5) + d = 0.1667(125) + (-1.5)(25) + 5.3332(5) -1 approx 20.83375 -37.5 + 26.666 -1 = 8 determinados, podemos agora calcular alpha = 2, beta = 6, gamma = 8 , e :
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .
Resposta Final:

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