Em um experimento foram obtidos os seguintes valores
0 1 2 3 4
0,98 -15
Usando o método dos mínimos quadrados, determine dentre todas as retas e calcule o erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o método dos mínimos quadrados para achar a melhor reta que se ajusta aos pontos dados. A reta tem a forma . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que minimizam o erro entre a reta e os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas básicas como , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
Agora, vamos calcular as somas necessárias:

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar :
Onde (número de pontos). Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Com e encontrados, vamos definir a reta ajustada:
Agora, vamos calcular o erro, que é a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre os valores reais e os valores ajustados pela reta):
Vamos calcular para cada ponto:
Agora, elevamos cada diferença ao quadrado e somamos:

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos dados é e o erro associado a esse ajuste é aproximadamente 1,89.

Exercícios relacionados

(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
donde, temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-3 -2 -1
-5
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .
Interpole no intervalo usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós e .
Dada a tabela
0 1 2 3 4 5 6
-1 5 7 13
calcule e , sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.