Em um experimento foram obtidos os seguintes valores
xi 0 1 2 3 4
f(xi) 0,98 -3,01 -6,99 -11,01 -15
Usando o método dos mínimos quadrados, determine dentre todas as retas g(x)=alpha1+alpha2 x e calcule o erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o método dos mínimos quadrados para achar a melhor reta que se ajusta aos pontos dados. A reta tem a forma . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que minimizam o erro entre a reta e os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas básicas como , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
|c|c| hline xi & f(xi) = yi hline 0 & 0,98 1 & -3,01 2 & -6,99 3 & -11,01 4 & -15 hline
Agora, vamos calcular as somas necessárias:
sum xi = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
sum yi = 0,98 - 3,01 - 6,99 - 11,01 - 15 = -35,03
sum xi^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30
sum xi yi = (0)(0,98) + (1)(-3,01) + (2)(-6,99) + (3)(-11,01) + (4)(-15) = 0 - 3,01 - 13,98 - 33,03 - 60 = -110,02

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar alpha2 = N sum xi yi - sum xi sum yiN sum xi^2 - (sum xi)^2 :
alpha2 = 5 times (-110,02) - 10 times (-35,03)5 times 30 - 10^2 = -550,10 + 350,30150 - 100 = -199,8050 = -3,996
Onde (número de pontos). Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos alpha1 = sum yi - alpha2 sum xiN , vamos encontrar alpha1 = -35,03 - (-3,996) times 105 = -35,03 + 39,965 = 4,935 = 0,986 usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Com g(x) = 0,986 - 3,996x e Erro = sum (yi - g(xi))^2 encontrados, vamos definir a reta ajustada:
y0 - g(0) &= 0,98 - 0,986 = -0,006 y1 - g(1) &= -3,01 - (0,986 - 3,996 times 1) = -3,01 - (-3,01) = 0 y2 - g(2) &= -6,99 - (0,986 - 3,996 times 2) = -6,99 - (-6,006) = -0,984 y3 - g(3) &= -11,01 - (0,986 - 3,996 times 3) = -11,01 - (-11,002) = -0,008 y4 - g(4) &= -15 - (0,986 - 3,996 times 4) = -15 - (-15,958) = 0,958
Agora, vamos calcular o erro, que é a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre os valores reais e os valores ajustados pela reta):
Erro = (-0,006)^2 + (0)^2 + (-0,984)^2 + (-0,008)^2 + (0,958)^2 = 0,000036 + 0 + 0,968256 + 0,000064 + 0,917164 = 1,88552
Vamos calcular para cada ponto:
Agora, elevamos cada diferença ao quadrado e somamos:

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos dados é e o erro associado a esse ajuste é aproximadamente 1,89.

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