Em um experimento foram obtidos os seguintes valores
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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0,98 |
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-15 |
Usando o método dos mínimos quadrados, determine dentre todas as retas
e calcule o erro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o método dos mínimos quadrados para achar a melhor reta que se ajusta aos pontos dados. A reta tem a forma
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
e
que minimizam o erro entre a reta e os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas básicas como
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados:
Agora, vamos calcular as somas necessárias:
Passo 3
Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar
:
Onde
(número de pontos). Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com
e
encontrados, vamos definir a reta ajustada:
Agora, vamos calcular o erro, que é a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre os valores reais e os valores ajustados pela reta):
Vamos calcular para cada ponto:
Agora, elevamos cada diferença ao quadrado e somamos:
Resposta
A reta que melhor se ajusta aos dados é
e o erro associado a esse ajuste é aproximadamente 1,89.
Exercícios relacionados
(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função
com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
donde, temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
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Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
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-3 | -2 | -1 |
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-5 |
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Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial
.
Interpole
no intervalo
usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós
e
.
Dada a tabela
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
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-1 |
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5 |
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7 |
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13 |
calcule
e
, sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.