Dada a transformaçà linear tal que Encontre a Matriz , onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação em cada vetor da base e depois expressar o resultado de volta na mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação , precisamos aplicar em cada vetor da base e depois escrever cada imagem como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos começar aplicando no primeiro vetor da base , que é .
Agora, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos aplicar T((0, 1, 0)) = (0, 0 - 1, 2 cdot 0 + 1 - 0) = (0, -1, 1) no segundo vetor da base (0, -1, 1) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) , que é 0 = a -1 = b 1 = a + c .
1 = 0 + c implies c = 1
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .
Passo 5
Por fim, vamos aplicar T((0, 0, 1)) = (0, 0 - 0, 2 cdot 0 + 0 - 1) = (0, 0, -1) no terceiro vetor da base (0, 0, -1) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) , que é 0 = a 0 = b -1 = a + c .
-1 = 0 + c implies c = -1
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .
Resposta
A matriz da transformação [T]B^B = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 na base é: