Dada a transformaçà linear tal que Encontre a Matriz , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação em cada vetor da base e depois expressar o resultado de volta na mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação , precisamos aplicar em cada vetor da base e depois escrever cada imagem como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar aplicando no primeiro vetor da base , que é .
Agora, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar no segundo vetor da base , que é .
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 5

Por fim, vamos aplicar no terceiro vetor da base , que é .
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Resposta

A matriz da transformação na base é:

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Encontre uma transformação linear tal que:
(a)