Dada a transformaçà linear T: R^3 R^3 tal que T((x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z) Encontre a Matriz [T]B^B, onde B=(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação em cada vetor da base e depois expressar o resultado de volta na mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação , precisamos aplicar em cada vetor da base e depois escrever cada imagem como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar aplicando T((1, 0, 1)) = (1, 1 - 0, 2 cdot 1 + 0 - 1) = (1, 1, 1) no primeiro vetor da base (1, 1, 1) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) , que é 1 = a 1 = b 1 = a + c .
1 = 1 + c implies c = 0
Agora, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar T((0, 1, 0)) = (0, 0 - 1, 2 cdot 0 + 1 - 0) = (0, -1, 1) no segundo vetor da base (0, -1, 1) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) , que é 0 = a -1 = b 1 = a + c .
1 = 0 + c implies c = 1
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 5

Por fim, vamos aplicar T((0, 0, 1)) = (0, 0 - 0, 2 cdot 0 + 0 - 1) = (0, 0, -1) no terceiro vetor da base (0, 0, -1) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) , que é 0 = a 0 = b -1 = a + c .
-1 = 0 + c implies c = -1
Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação:
Então, .

Resposta

A matriz da transformação [T]B^B = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 na base é:

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