Verifique se as aplicaçōes abaxxo são transformaçöes lineares, Justifique sua resposta. T: R^2 R^3 tal que T(x, y)=(x+2 y, y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma outra forma de verificar é confirmar que , onde é o vetor nulo.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição de vetores. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), y1 + y2, (x1 + x2) - (y1 + y2)) e T(u) + T(v) = (x1 + 2y1, y1, x1 - y1) + (x2 + 2y2, y2, x2 - y2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2) . Então:
E:
Observamos que , então a propriedade da adição de vetores está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 2cy, cy, cx - cy) = c(x + 2y, y, x - y) = cT(u) um escalar e . Então:
Novamente, vemos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Passo 5

Além disso, podemos verificar que , o que confirma que o vetor nulo é mapeado no vetor nulo.

Resposta

Sim, a aplicação é uma transformação linear.

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