Verifique se as aplicaçōes abaxxo são transformaçöes lineares, Justifique sua resposta.
tal que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma outra forma de verificar é confirmar que
, onde
é o vetor nulo.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição de vetores. Seja
e
. Então:
E:
Observamos que
, então a propriedade da adição de vetores está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Novamente, vemos que
, então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Passo 5
Além disso, podemos verificar que
, o que confirma que o vetor nulo é mapeado no vetor nulo.
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear.