Encontre uma transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que vai de para e que satisfaz certas condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformação de vetores. Vamos precisar entender como representar uma transformação linear como uma matriz e como aplicar essa matriz aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
Essa matriz vai transformar qualquer vetor em para um vetor em através da multiplicação matricial:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições fornecidas no enunciado para encontrar os valores de . As condições são:
Vamos aplicar cada condição na multiplicação da matriz pelo vetor correspondente.

Passo 4

Aplicando a primeira condição :
Isso nos dá:

Passo 5

Aplicando a segunda condição :
Isso nos dá:

Passo 6

Aplicando a terceira condição :
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, voltando às equações que obtivemos:
De e sabendo que , temos:
De e sabendo que , temos:

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
Podemos montar a matriz :

Resposta

A transformação linear é dada pela matriz:

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