Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que vai de para e que satisfaz certas condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformação de vetores. Vamos precisar entender como representar uma transformação linear como uma matriz e como aplicar essa matriz aos vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
Essa matriz vai transformar qualquer vetor em para um vetor em através da multiplicação matricial:
Passo 3
Agora, vamos usar as condições fornecidas no enunciado para encontrar os valores de . As condições são:
Vamos aplicar cada condição na multiplicação da matriz pelo vetor correspondente.
Passo 4
Aplicando a primeira condição a & b & c d & e & f cdot 0 1 0 = b e = 1 1 :
b = 1 e = 1
Isso nos dá:
Passo 5
Aplicando a segunda condição a & b & c d & e & f cdot 1 0 1 = a + c d + f = 0 1 :
a + c = 0 d + f = 1
Isso nos dá:
Passo 6
Aplicando a terceira condição a & b & c d & e & f cdot 0 0 1 = c f = 2 1 :
c = 2 f = 1
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, voltando às equações que obtivemos:
De a + 2 = 0 Rightarrow a = -2 e sabendo que d + 1 = 1 Rightarrow d = 0 , temos:
De e sabendo que , temos:
Passo 8
Agora que temos todos os valores:
a = -2, b = 1, c = 2, d = 0, e = 1, f = 1
Podemos montar a matriz A = -2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 :
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = -2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 cdot x y z = -2x + y + 2z y + z é dada pela matriz: