Encontre uma transformação linear
T: R^3 R^2 tal que: T(0,1,0)=(1,1), T(1,0,1)=(0,1) e T(0,0,1)=(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que vai de para e que satisfaz certas condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformação de vetores. Vamos precisar entender como representar uma transformação linear como uma matriz e como aplicar essa matriz aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de A = a & b & c d & e & f para T(x, y, z) = A cdot x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
Essa matriz vai transformar qualquer vetor em para um vetor em através da multiplicação matricial:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições fornecidas no enunciado para encontrar os valores de . As condições são:
Vamos aplicar cada condição na multiplicação da matriz pelo vetor correspondente.

Passo 4

Aplicando a primeira condição a & b & c d & e & f cdot 0 1 0 = b e = 1 1 :
b = 1 e = 1
Isso nos dá:

Passo 5

Aplicando a segunda condição a & b & c d & e & f cdot 1 0 1 = a + c d + f = 0 1 :
a + c = 0 d + f = 1
Isso nos dá:

Passo 6

Aplicando a terceira condição a & b & c d & e & f cdot 0 0 1 = c f = 2 1 :
c = 2 f = 1
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, voltando às equações que obtivemos:
De a + 2 = 0 Rightarrow a = -2 e sabendo que d + 1 = 1 Rightarrow d = 0 , temos:
De e sabendo que , temos:

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
a = -2, b = 1, c = 2, d = 0, e = 1, f = 1
Podemos montar a matriz A = -2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 :

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = -2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 cdot x y z = -2x + y + 2z y + z é dada pela matriz:

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