Seja definida por
Encontre uma base para o núcleo e a imagem de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma base para o núcleo (kernel) e para a imagem (imagem) da transformação linear definida por:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleos e imagens. Vamos analisar a transformação e encontrar essas bases passo a passo.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o núcleo de , precisamos resolver a equação , ou seja:
Isso significa que estamos procurando todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações lineares acima. Começamos pela terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Por fim, substituímos e na segunda equação:
Isso confirma que nossas soluções anteriores estão corretas.

Passo 4

Então, todas as soluções para o núcleo são da forma:
Onde é um número real qualquer. Isso significa que o núcleo de é gerado por um único vetor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em . Para isso, podemos escrever a transformação como uma matriz:
A imagem de é então a coluna espaço dessa matriz .

Passo 6

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Vamos escrever as colunas:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 7

Vamos tentar expressar como combinação linear de e . Procuramos e tais que:
Da terceira equação, temos . Substituindo em outra equação:
Então, . Isso mostra que é dependente das outras duas colunas.

Passo 8

Como pode ser escrita como combinação linear de e , as colunas e são suficientes para gerar a imagem. Portanto, uma base para a imagem de é:

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .

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