Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de é gerado pelos vetores e . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e núcleos de matrizes.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o núcleo de uma transformação linear corresponde ao conjunto de vetores em tais que . O núcleo é formado por todas as soluções da equação , onde é a matriz associada a .
Passo 3
Como o núcleo é gerado por e , isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores. Assim, temos duas equações que as entradas da matriz devem satisfazer para que .
Passo 4
Vamos representar a matriz como uma matriz (já que ). As linhas de devem ser ortogonais aos vetores do núcleo. Portanto, se é uma linha de , então:
Isso simplifica para:
Logo, e .
Passo 5
Escolhemos para simplificar, então e . Assim, cada linha de será .
Passo 6
Construímos a matriz com quatro linhas iguais a :
Resposta
A transformação linear desejada é dada pela matriz: