Encontre uma transformação linear tal que:
(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de é gerado pelos vetores e . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e núcleos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o núcleo de uma transformação linear corresponde ao conjunto de vetores em tais que . O núcleo é formado por todas as soluções da equação , onde é a matriz associada a .

Passo 3

Como o núcleo é gerado por e , isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores. Assim, temos duas equações que as entradas da matriz devem satisfazer para que .

Passo 4

Vamos representar a matriz como uma matriz (já que ). As linhas de devem ser ortogonais aos vetores do núcleo. Portanto, se é uma linha de , então:
Isso simplifica para:
Logo, e .

Passo 5

Escolhemos para simplificar, então e . Assim, cada linha de será .

Passo 6

Construímos a matriz com quatro linhas iguais a :

Resposta

A transformação linear desejada é dada pela matriz:
Isso significa que para qualquer vetor em ,

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Encontre uma transformação linear
Dada a transformaçà linear tal que Encontre a Matriz , onde
Seja definida por
(b) T é injetora? T é sobrejetora? (justifique!)
Se indica translação por e uma transformação ortogonal, verifique que .