Dada a transformação linear T: P2(R) longrightarrow R^2 definida por T(a x^2+b x+c)=(c-b, b+a). verifique:
(a) Quais dos polinomios x+1 -x^2+x e -x^2+x+1 pertencem a Nuc(T) ?
b) Quais dos vetores (0,0),(1,0) e (0,1) pertencem a Im(T) ?
c) Determine a base do N uc (T) e da Im(T).
© Josean da Silva Alves
Pag. 1 die 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos verificar três coisas:
a) Quais dos polinômios , e pertencem ao núcleo de (ou seja, )?
b) Quais dos vetores , e pertencem à imagem de (ou seja, )?
c) Determinar uma base para e para .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear, além de saber como aplicar a transformação dada a diferentes vetores (no caso, polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo ( ) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, .
Vamos aplicar isso aos polinômios dados na parte (a).

Passo 3

Vamos verificar se cada polinômio dado pertence ao núcleo de .
  1. Polinômio :
    • Coeficientes: , , .
    • Aplicando : .
    • Como , não pertence ao núcleo.
  2. Polinômio :
    • Coeficientes: , , .
    • Aplicando : .
    • Como , não pertence ao núcleo.
  3. Polinômio :
    • Coeficientes: , , .
    • Aplicando : .
    • Como , pertence ao núcleo.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos verificar quais vetores estão na imagem de ( ). A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor do domínio.
Queremos saber se , e estão na imagem de .

Passo 5

Para verificar se um vetor pertence à imagem de , precisamos encontrar se existe um polinômio tal que , onde é o vetor que estamos verificando.
Vamos analisar cada vetor:
  1. Vetor :
    • Queremos resolver .
    • Isso dá as equações:
    • Podemos escolher , então e .
    • Há infinitas soluções para , então pertence à imagem de .
  2. Vetor :
    • Queremos .
    • Equações:
    • Substituindo na primeira equação:
    • Podemos escolher , então e .
    • Há soluções, então pertence à imagem de .
  3. Vetor :
    • Queremos .
    • Equações:
    • Substituindo e .
    • Podemos escolher , então e .
    • Há soluções, então pertence à imagem de .

Passo 6

Por fim, na parte ©, precisamos determinar uma base para o núcleo de -1 & 1 1 & 1 e para a imagem de .
Para o núcleo ( ):
Sabemos que .
Das equações anteriores:
Podemos expressar os polinômios no núcleo em termos de :
Então, todo polinômio no núcleo é múltiplo de .
Para a imagem ( ):
A imagem de está no espaço . Observamos que os vetores , e pertencem à imagem.
Vamos verificar a dimensão da imagem:
  • Calculamos a transformação aplicada a dois polinômios independentes, por exemplo:
    • :
    • :
Verificamos se e são linearmente independentes:
  • O determinante da matriz é , então são independentes.
Portanto, uma base para a imagem de é .

Resposta

a) Apenas o polinômio pertence a .
b) Todos os vetores , e pertencem a .
c)
  • Uma base para é .
  • Uma base para é .

Exercícios relacionados