Dada a transformação linear
definida por
. verifique:
(a) Quais dos polinomios
e
pertencem a
?
b) Quais dos vetores
e
pertencem a
?
c) Determine a base do
uc
e da
.
© Josean da Silva Alves
Pag. 1 die 2
(a) Quais dos polinomios
b) Quais dos vetores
c) Determine a base do
© Josean da Silva Alves
Pag. 1 die 2
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Precisamos verificar três coisas:
a) Quais dos polinômios
,
e
pertencem ao núcleo de
(ou seja,
)?
b) Quais dos vetores
,
e
pertencem à imagem de
(ou seja,
)?
c) Determinar uma base para
e para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear, além de saber como aplicar a transformação dada a diferentes vetores (no caso, polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo (
) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja,
.
Vamos aplicar isso aos polinômios dados na parte (a).
Passo 3
Vamos verificar se cada polinômio dado pertence ao núcleo de
.
-
Polinômio
: - Coeficientes:
, , . - Aplicando
: . - Como
, não pertence ao núcleo.
- Coeficientes:
-
Polinômio
: - Coeficientes:
, , . - Aplicando
: . - Como
, não pertence ao núcleo.
- Coeficientes:
-
Polinômio
: - Coeficientes:
, , . - Aplicando
: . - Como
, pertence ao núcleo.
- Coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos verificar quais vetores estão na imagem de
(
). A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor do domínio.
Queremos saber se
,
e
estão na imagem de
.
Passo 5
Para verificar se um vetor pertence à imagem de
, precisamos encontrar se existe um polinômio
tal que
, onde
é o vetor que estamos verificando.
Vamos analisar cada vetor:
-
Vetor
: - Queremos resolver
. - Isso dá as equações:
-
→ -
→
-
- Podemos escolher
, então e . - Há infinitas soluções para
, então pertence à imagem de .
- Queremos resolver
-
Vetor
: - Queremos
. - Equações:
-
-
→
-
- Substituindo
na primeira equação: -
- Podemos escolher
, então e . - Há soluções, então
pertence à imagem de .
- Queremos
-
Vetor
: - Queremos
. - Equações:
-
→ -
→
-
- Substituindo
e . - Podemos escolher
, então e . - Há soluções, então
pertence à imagem de .
- Queremos
Passo 6
Por fim, na parte ©, precisamos determinar uma base para o núcleo de
e para a imagem de
.
Para o núcleo (
):
Sabemos que
.
Das equações anteriores:
Podemos expressar os polinômios no núcleo em termos de
:
Então, todo polinômio no núcleo é múltiplo de
.
Para a imagem (
):
A imagem de
está no espaço
. Observamos que os vetores
,
e
pertencem à imagem.
Vamos verificar a dimensão da imagem:
- Calculamos a transformação aplicada a dois polinômios independentes, por exemplo:
-
: -
:
-
Verificamos se
e
são linearmente independentes:
- O determinante da matriz
é , então são independentes.
Portanto, uma base para a imagem de
é
.
Resposta
a) Apenas o polinômio
pertence a
.
b) Todos os vetores
,
e
pertencem a
.
c)
- Uma base para
é . - Uma base para
é .