Decomponha v=(2,3,-1) como v=v1+v2 com v1 paralelo ao plano pi e v2 perpendicular a pi, sendo
pi=l x=1-lambda+mu y=-2+3 lambda z=lambda-2 mu

Passo 1

Então, temos que decompor o vetor v = (2, 3, -1) em dois vetores: v1, que é paralelo ao plano pi, e v2, que é perpendicular a pi. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como decomposição de vetores e normal a um plano. Precisaremos encontrar a normal do plano pi e projetar v nessa normal para identificar v2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a normal ao plano pi. O plano está definido pelas equações paramétricas:
pi = l x = 1 - lambda + mu y = -2 + 3lambda z = lambda - 2mu
Podemos escrever o vetor diretor do plano usando os coeficientes de lambda e mu:
d1 = (-1, 3, 1) e d2 = (1, 0, -2)
A normal ao plano pi é perpendicular a ambos os vetores diretores, então calculamos o produto vetorial:
n = d1 times d2 = i & j & k -1 & 3 & 1 1 & 0 & -2 = i(3 cdot (-2) - 1 cdot 0) - j((-1) cdot (-2) - 1 cdot 1) + k((-1) cdot 0 - 3 cdot 1)
n = (-6, -1, -3)

Passo 3

Agora que temos a normal n = (-6, -1, -3), vamos projetar o vetor v = (2, 3, -1) nessa normal para encontrar v2, que é a componente de v perpendicular ao plano.
A fórmula para a projeção de v em n é:
v2 = ( v cdot nn cdot n ) n
Vamos calcular o produto escalar v cdot n:
v cdot n = 2 cdot (-6) + 3 cdot (-1) + (-1) cdot (-3) = -12 -3 +3 = -12
E o produto escalar n cdot n:
n cdot n = (-6)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 36 + 1 + 9 = 46
Então,
v2 = ( -1246 ) n = ( -623 ) (-6, -1, -3) = ( 3623, 623, 1823 )

Passo 4

Agora que temos v2, podemos encontrar v1 usando a relação:
v = v1 + v2 implies v1 = v - v2
Subtraindo os vetores:
v1 = ( 2, 3, -1 ) - ( 3623, 623, 1823 ) = ( 2 - 3623, 3 - 623, -1 - 1823 )
Convertendo para frações com denominador 23:
v1 = ( 4623 - 3623, 6923 - 623, -2323 - 1823 ) = ( 1023, 6323, -4123 )

Resposta

A decomposição do vetor v = (2, 3, -1) é:
v = v1 + v2 = ( 1023, 6323, -4123 ) + ( 3623, 623, 1823 )

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