Justifique se as afirmaçōes abaixo sâo verdadeiras ou falsas, provando as ou fornecendo contra exemplo.
© Dois planos em R^3 sempre se interceptam ao longo de uma reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Dois planos em R^3 sempre se interceptam ao longo de uma reta” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre como dois planos podem interagir entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois planos se interceptarem ao longo de uma reta. Imagine dois chapéus abertos; a borda onde eles se encontram seria a reta de interseção. Mas, no espaço tridimensional, a interação entre dois planos pode ser um pouco mais variada.

Passo 3

Existem basicamente três situações possíveis quando temos dois planos:
  1. Planos Paralelos e Distintos: Eles nunca se encontram, não têm pontos em comum.
  2. Planos Coincidentes: São essencialmente o mesmo plano, então todos os pontos são compartilhados.
  3. Planos que se Interceptam em uma Reta: Aqui, como na nossa analogia dos chapéus, eles se cruzam ao longo de uma reta específica.

Passo 4

A afirmação diz que “sempre” ocorre uma interseção ao longo de uma reta. Mas, como vimos, há casos onde isso não acontece:
  • Se os planos forem paralelos e distintos, não há interseção nenhuma.
  • Se forem coincidentes, a interseção não é uma reta, mas todo o plano.

Passo 5

Portanto, nem sempre dois planos em R^3 se interceptam ao longo de uma reta. Existem situações em que não ocorre interseção ou a interseção é de uma maneira diferente.

Resposta

A afirmação é falsa, pois dois planos em R^3 nem sempre se interceptam ao longo de uma reta.

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