Sabendo-se que u cdot v=2,|u|=3 e |v|=5, calcule:
(5 v-2 u) cdot(-5 u+v);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, u e v, com o produto escalar u cdot v = 2, e os comprimentos desses vetores são |u| = 3 e |v| = 5. A tarefa é calcular o produto escalar de (5 v - 2 u) com (-5 u + v). Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto escalar usando a distributividade. Lembrando que o produto escalar é distributivo, temos:
(5 v - 2 u) cdot (-5 u + v) = 5 v cdot (-5 u) + 5 v cdot v - 2 u cdot (-5 u) - 2 u cdot v

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro Termo: 5 v cdot (-5 u) = -25 (v cdot u)
  2. Segundo Termo: 5 v cdot v = 5 |v|^2
  3. Terceiro Termo: -2 u cdot (-5 u) = 10 (u cdot u)
  4. Quarto Termo: -2 u cdot v = -2 (u cdot v)

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos nas expressões:
  • Sabemos que u cdot v = 2
  • Também, |v|^2 = 5^2 = 25
  • E, |u|^2 = 3^2 = 9
Substituindo esses valores:
-25 (2) + 5 (25) + 10 (9) - 2 (2) = -50 + 125 + 90 - 4

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos:
-50 + 125 = 75
75 + 90 = 165
165 - 4 = 161

Resposta

O resultado é 161.

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