Sendo u e v unitários, |w|=4, u bul<=t w=-2, v bul<=t w=-4 e ang (u, v)=pi3, calcule:
(3) (2 w-v+u)(-u+2 w+v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas unidades vetoriais, e , e um terceiro vetor com módulo 4. Além disso, temos os produtos escalares e , e o ângulo entre e é . O que precisamos calcular é o produto escalar de dois vetores compostos: e . Para resolver isso, vamos usar propriedades de produtos escalares e vetoriais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a cdot b = | a | cdot | b | cdot cos(theta) e (a + b) cdot (c + d) = a cdot c + a cdot d + b cdot c + b cdot d é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo, ou seja:
Vamos expandir o produto que precisamos calcular usando essa propriedade.

Passo 3

Expandindo = 2w cdot (-u) + 2w cdot 2w + 2w cdot v - v cdot (-u) - v cdot 2w - v cdot v + u cdot (-u) + u cdot 2w + u cdot v :
Vamos simplificar cada termo individualmente.

Passo 4

Simplificando cada termo:
  1. (já que )
  2. (já que é unitário)
  3. (já que é unitário)
Agora, precisamos calcular e .

Passo 5

Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja, u cdot v = | u | cdot | v | cdot cos(pi3) = 1 times 1 times 12 = 12 . Para encontrar , usamos:
Portanto, tanto quanto são iguais a .

Passo 6

Substituindo todos os valores simplificados:
4 + 64 - 8 + 12 + 8 - 1 - 1 - 4 + 12
Vamos somar tudo passo a passo:

Resposta

O valor final do produto escalar é .

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