Sendo
e
unitários,
e ang
, calcule:
(3)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas unidades vetoriais,
e
, e um terceiro vetor
com módulo 4. Além disso, temos os produtos escalares
e
, e o ângulo entre
e
é
. O que precisamos calcular é o produto escalar de dois vetores compostos:
e
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de produtos escalares e vetoriais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo, ou seja:
Vamos expandir o produto que precisamos calcular usando essa propriedade.
Passo 3
Expandindo
:
Vamos simplificar cada termo individualmente.
Passo 4
Simplificando cada termo:
-
-
(já que ) -
-
-
-
(já que é unitário) -
(já que é unitário) -
-
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja,
. Para encontrar
, usamos:
Portanto, tanto
quanto
são iguais a
.
Passo 6
Substituindo todos os valores simplificados:
Vamos somar tudo passo a passo:
Resposta
O valor final do produto escalar é
.