Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
f) , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas e de ordem . A afirmação que precisamos verificar é:
"Se , então ."
Aqui, estamos lidando com determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz inversa e como o determinante está relacionado a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz inversa. A matriz inversa de , denotada por , é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade :
A matriz identidade é uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s nos demais lugares.
Passo 3
Agora, sobre o determinante, o nos dá informações importantes sobre a matriz. Se , a matriz é inversível, ou seja, existe. Além disso, temos uma relação entre o determinante e o inverso:
Passo 4
Vamos analisar a afirmação: se , então .
Se , então . Isso significa que também tem determinante 1. No entanto, ter o mesmo determinante não implica necessariamente que as matrizes sejam iguais.
Passo 5
Para que , a matriz teria que satisfazer a condição:
Isso significa que seria uma matriz involutiva, ou seja, sua própria inversa. Mas isso é uma condição muito específica e não decorre apenas do fato de .
Passo 6
Vamos pensar em um exemplo simples. Considere a matriz identidade . Temos:
Aqui, a afirmação é verdadeira. Mas nem todas as matrizes com determinante 1 são iguais à sua inversa. Por exemplo:
Calculando o determinante:
Mas a inversa de é:
Claramente, .
Resposta
A afirmação é falsa. Embora garanta que seja inversível, não implica que .