Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
f)
, então
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A afirmação que precisamos verificar é:
"Se
, então
."
Aqui, estamos lidando com determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz inversa e como o determinante está relacionado a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz inversa. A matriz inversa de
, denotada por
, é aquela que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade
:
A matriz identidade é uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s nos demais lugares.
Passo 3
Agora, sobre o determinante, o
nos dá informações importantes sobre a matriz. Se
, a matriz
é inversível, ou seja,
existe. Além disso, temos uma relação entre o determinante e o inverso:
Passo 4
Vamos analisar a afirmação: se
, então
.
Se
, então
. Isso significa que
também tem determinante 1. No entanto, ter o mesmo determinante não implica necessariamente que as matrizes sejam iguais.
Passo 5
Para que
, a matriz
teria que satisfazer a condição:
Isso significa que
seria uma matriz involutiva, ou seja, sua própria inversa. Mas isso é uma condição muito específica e não decorre apenas do fato de
.
Passo 6
Vamos pensar em um exemplo simples. Considere a matriz identidade
. Temos:
Aqui, a afirmação é verdadeira. Mas nem todas as matrizes com determinante 1 são iguais à sua inversa. Por exemplo:
Calculando o determinante:
Mas a inversa de
é:
Claramente,
.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora
garanta que
seja inversível, não implica que
.