Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
f) Se det(A)=1, então A^-1=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas e de ordem . A afirmação que precisamos verificar é:
"Se , então ."
Aqui, estamos lidando com determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz inversa e como o determinante está relacionado a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz inversa. A matriz inversa de A cdot A^-1 = I , denotada por , é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade :
A matriz identidade é uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s nos demais lugares.

Passo 3

Agora, sobre o determinante, o det(A^-1) = 1det(A) nos dá informações importantes sobre a matriz. Se , a matriz é inversível, ou seja, existe. Além disso, temos uma relação entre o determinante e o inverso:

Passo 4

Vamos analisar a afirmação: se , então .
Se , então . Isso significa que também tem determinante 1. No entanto, ter o mesmo determinante não implica necessariamente que as matrizes sejam iguais.

Passo 5

Para que A cdot A = I , a matriz teria que satisfazer a condição:
Isso significa que seria uma matriz involutiva, ou seja, sua própria inversa. Mas isso é uma condição muito específica e não decorre apenas do fato de .

Passo 6

Vamos pensar em um exemplo simples. Considere a matriz identidade det(I) = 1 e I^-1 = I . Temos:
A = 2 & 0 0 & 12
Aqui, a afirmação é verdadeira. Mas nem todas as matrizes com determinante 1 são iguais à sua inversa. Por exemplo:
det(A) = 2 times 12 = 1
Calculando o determinante:
A^-1 = 12 & 0 0 & 2
Mas a inversa de é:
Claramente, .

Resposta

A afirmação é falsa. Embora garanta que seja inversível, não implica que .

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