Dada a transformação linear T: R^3 R^2 tal que
T(1,0,0)=(2,1), T(0,1,0)=(-1,0) e T(0,0,1)=(1,-2)
a) determinar a matriz canônica de T;
b) calcular T(3,4,5);
c) calcular T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício é sobre transformações lineares, que são funções que relacionam vetores de um espaço para outro de forma “linear” (ou seja, preservam as operações de adição e multiplicação por escalar). A gente tem uma transformação linear definida por como ela age nos vetores da base padrão de . Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar entender como montar a matriz dessa transformação e como aplicá-la a vetores específicos.

Passo 2

a) Determinar a matriz canônica de T(1,0,0) = (2,1), T(0,1,0) = (-1,0), T(0,0,1) = (1,-2) .
Primeiro, vamos lembrar que a matriz canônica (ou matriz da transformação) é formada pelas imagens dos vetores da base padrão como colunas. No caso, a base padrão de A = 2 & -1 & 1 1 & 0 & -2 é .
Dada a transformação :
Então, a matriz de será:

Passo 3

b) Calcular T(au + bv + cw) = aT(u) + bT(v) + cT(w) .
Para calcular T(3,4,5) = 3T(1,0,0) + 4T(0,1,0) + 5T(0,0,1) , usamos a propriedade da linearidade da transformação, que diz que:
= 3(2,1) + 4(-1,0) + 5(1,-2)
Aplicando isso:
3(2,1) = (6,3)
Substituindo pelos valores dados:
4(-1,0) = (-4,0)
Calculando cada parte:
5(1,-2) = (5,-10)
(6,3) + (-4,0) + (5,-10) = (6 - 4 + 5, 3 + 0 - 10) = (7, -7)
Somando tudo:

Passo 4

c) Calcular T(x, y, z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1) .
Vamos aplicar a mesma ideia da linearidade para um vetor genérico = x(2,1) + y(-1,0) + z(1,-2) :
= (2x, x) + (-y, 0) + (z, -2z)
Substituindo pelas imagens dadas:
(2x - y + z, x - 2z)
Distribuindo os escalar:
Somando as componentes:

Resposta

a) A matriz canônica de 2 & -1 & 1 1 & 0 & -2 é:
b)
c)

Exercícios relacionados