Dada a transformação linear tal que
a) determinar a matriz canônica de ;
b) calcular ;
c) calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício é sobre transformações lineares, que são funções que relacionam vetores de um espaço para outro de forma “linear” (ou seja, preservam as operações de adição e multiplicação por escalar). A gente tem uma transformação linear definida por como ela age nos vetores da base padrão de . Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar entender como montar a matriz dessa transformação e como aplicá-la a vetores específicos.

Passo 2

a) Determinar a matriz canônica de .
Primeiro, vamos lembrar que a matriz canônica (ou matriz da transformação) é formada pelas imagens dos vetores da base padrão como colunas. No caso, a base padrão de é .
Dada a transformação :
Então, a matriz de será:

Passo 3

b) Calcular .
Para calcular , usamos a propriedade da linearidade da transformação, que diz que:
Aplicando isso:
Substituindo pelos valores dados:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 4

c) Calcular .
Vamos aplicar a mesma ideia da linearidade para um vetor genérico :
Substituindo pelas imagens dadas:
Distribuindo os escalar:
Somando as componentes:

Resposta

a) A matriz canônica de é:
b)
c)

Exercícios relacionados

Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .
Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .