Dada a transformação linear
tal que
a) determinar a matriz canônica de
;
b) calcular
;
c) calcular
.
b) calcular
c) calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício é sobre transformações lineares, que são funções que relacionam vetores de um espaço para outro de forma “linear” (ou seja, preservam as operações de adição e multiplicação por escalar). A gente tem uma transformação linear
definida por como ela age nos vetores da base padrão de
. Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar entender como montar a matriz dessa transformação e como aplicá-la a vetores específicos.
Passo 2
a) Determinar a matriz canônica de
.
Primeiro, vamos lembrar que a matriz canônica (ou matriz da transformação) é formada pelas imagens dos vetores da base padrão como colunas. No caso, a base padrão de
é
.
Dada a transformação
:
Então, a matriz de
será:
Passo 3
b) Calcular
.
Para calcular
, usamos a propriedade da linearidade da transformação, que diz que:
Aplicando isso:
Substituindo pelos valores dados:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 4
c) Calcular
.
Vamos aplicar a mesma ideia da linearidade para um vetor genérico
:
Substituindo pelas imagens dadas:
Distribuindo os escalar:
Somando as componentes:
Resposta
a) A matriz canônica de
é:
b)
c)