Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os exercícios de autovalores e autovetores para várias transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espectro de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
Agora, para encontrar os autovalores (
), resolvemos o determinante de
igual a zero:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Resposta
Parte a) A transformação
tem os autovalores
com o autovetor
e
com o autovetor
.
Exercícios relacionados
Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Dada a transformação linear
tal que
a) determinar a matriz canônica de
;
b) calcular ;
c) calcular .
b) calcular
c) calcular
Seja a matriz
e
o operador linear no
definido por
. Determinar a matriz de
em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .
a)
b)