Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver os exercícios de autovalores e autovetores para várias transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espectro de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Parte a)

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
Agora, para encontrar os autovalores ( ), resolvemos o determinante de igual a zero:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:

Resposta

Parte a) A transformação tem os autovalores com o autovetor e com o autovetor .

Exercícios relacionados

Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Dada a transformação linear tal que
a) determinar a matriz canônica de ;
b) calcular ;
c) calcular .
Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .