Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
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g)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os exercícios de autovalores e autovetores para várias transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espectro de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
Agora, para encontrar os autovalores (
), resolvemos o determinante de
igual a zero:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Resposta
Parte a) A transformação
tem os autovalores
com o autovetor
e
com o autovetor
.