Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y).
b) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y).
c) T: R^2 R^2, T(x, y)=(5 x-y, x+3 y).
d) T: R^2 R^2, T(x, y)=(y,-x).
e) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z).
f) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z).
g) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver os exercícios de autovalores e autovetores para várias transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espectro de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como achar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Parte a) T(x, y) = 1 & 2 -1 & 4 x y

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
det( 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda ) = 0
Agora, para encontrar os autovalores ( (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2 = 0 ), resolvemos o determinante de (1 cdot 4) - 1 cdot lambda - 4 cdot lambda + lambda^2 + 2 = 0 4 - 5lambda + lambda^2 + 2 = 0 lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 igual a zero:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Calculando o determinante:
lambda1 = 3 e lambda2 = 2
Expandindo:
-2 & 2 -1 & 1 x y = 0 0
Resolvendo a equação quadrática:
-2x + 2y = 0 Rightarrow y = x
Então, os autovalores são:
v1 = 1 1
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para -1 & 2 -1 & 2 x y = 0 0 :
Resolvemos - x + 2y = 0 Rightarrow x = 2y :
v2 = 2 1
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso dá as equações:
Então, um autovetor é:

Resposta

Parte a) A transformação 1 1 tem os autovalores 2 1 com o autovetor e com o autovetor .

Exercícios relacionados