Sejam os operadores lineares
f(x, y)=(x-2 y, y) e g(x, y)=(2 x,-y)
Calcular:
a) f+g
b) g-f
c) 2 f+4 g
d) f circ g
e) g circ f
f) f circ f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois operadores lineares definidos por e . A gente vai precisar entender como somar operadores, subtraí-los, multiplicar por escalares e também como compor essas funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Calculando (f + g)(x, y) = (f1(x, y) + g1(x, y), f2(x, y) + g2(x, y)) :
Primeiro, para somar os operadores f(x, y) + g(x, y) = (x - 2y + 2x, y + (-y)) = (3x - 2y, 0) e , a gente simplesmente soma as respectivas componentes das funções. Ou seja, se e , então:
Aplicando isso aos nossos operadores:

Passo 3

b) Calculando (g - f)(x, y) = (g1(x, y) - f1(x, y), g2(x, y) - f2(x, y)) :
Aqui, a gente vai subtrair o operador g(x, y) - f(x, y) = (2x - (x - 2y), -y - y) = (x + 2y, -2y) do . Seguindo a mesma lógica da soma:
Aplicando os valores:

Passo 4

c) Calculando 2f(x, y) = 2 cdot (x - 2y, y) = (2x - 4y, 2y) :
Primeiro, vamos multiplicar cada operador por seu escalar:
4g(x, y) = 4 cdot (2x, -y) = (8x, -4y)
2f(x, y) + 4g(x, y) = (2x - 4y + 8x, 2y - 4y) = (10x - 4y, -2y)
Agora, somamos os resultados:

Passo 5

d) Calculando g(x, y) = (2x, -y) (composição de f(2x, -y) = (2x - 2(-y), -y) = (2x + 2y, -y) com (f circ g)(x, y) = (2x + 2y, -y) ):
A composição significa que primeiro aplicamos e depois . Então, para qualquer ponto :
  1. Aplicamos :
  1. Usamos o resultado como entrada para :
Portanto,

Passo 6

e) Calculando f(x, y) = (x - 2y, y) (composição de g(x - 2y, y) = (2(x - 2y), -y) = (2x - 4y, -y) com (g circ f)(x, y) = (2x - 4y, -y) ):
Agora, significa que primeiro aplicamos e depois :
  1. Aplicamos :
  1. Usamos o resultado como entrada para :
Portanto,

Passo 7

f) Calculando f(x, y) = (x - 2y, y) (composição de f(x - 2y, y) = ((x - 2y) - 2y, y) = (x - 4y, y) com ele mesmo):
Aqui, aplicamos (f circ f)(x, y) = (x - 4y, y) duas vezes:
  1. Primeira aplicação de :
  1. Segunda aplicação de sobre o resultado:
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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