Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois operadores lineares definidos por e . A gente vai precisar entender como somar operadores, subtraí-los, multiplicar por escalares e também como compor essas funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Calculando :
Primeiro, para somar os operadores e , a gente simplesmente soma as respectivas componentes das funções. Ou seja, se e , então:
Aplicando isso aos nossos operadores:

Passo 3

b) Calculando :
Aqui, a gente vai subtrair o operador do . Seguindo a mesma lógica da soma:
Aplicando os valores:

Passo 4

c) Calculando :
Primeiro, vamos multiplicar cada operador por seu escalar:
Agora, somamos os resultados:

Passo 5

d) Calculando (composição de com ):
A composição significa que primeiro aplicamos e depois . Então, para qualquer ponto :
  1. Aplicamos :
  1. Usamos o resultado como entrada para :
Portanto,

Passo 6

e) Calculando (composição de com ):
Agora, significa que primeiro aplicamos e depois :
  1. Aplicamos :
  1. Usamos o resultado como entrada para :
Portanto,

Passo 7

f) Calculando (composição de com ele mesmo):
Aqui, aplicamos duas vezes:
  1. Primeira aplicação de :
  1. Segunda aplicação de sobre o resultado:
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Dado o operador linear que produz uma rotação do plano de um ângulo , calcular e nos casos de:
a)
b)
c) .
Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Dada a transformação linear tal que
a) determinar a matriz canônica de ;
b) calcular ;
c) calcular .