Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois operadores lineares definidos por
e
. A gente vai precisar entender como somar operadores, subtraí-los, multiplicar por escalares e também como compor essas funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Calculando
:
Primeiro, para somar os operadores
e
, a gente simplesmente soma as respectivas componentes das funções. Ou seja, se
e
, então:
Aplicando isso aos nossos operadores:
Passo 3
b) Calculando
:
Aqui, a gente vai subtrair o operador
do
. Seguindo a mesma lógica da soma:
Aplicando os valores:
Passo 4
c) Calculando
:
Primeiro, vamos multiplicar cada operador por seu escalar:
Agora, somamos os resultados:
Passo 5
d) Calculando
(composição de
com
):
A composição
significa que primeiro aplicamos
e depois
. Então, para qualquer ponto
:
- Aplicamos
:
- Usamos o resultado como entrada para
:
Portanto,
Passo 6
e) Calculando
(composição de
com
):
Agora,
significa que primeiro aplicamos
e depois
:
- Aplicamos
:
- Usamos o resultado como entrada para
:
Portanto,
Passo 7
f) Calculando
(composição de
com ele mesmo):
Aqui, aplicamos
duas vezes:
- Primeira aplicação de
:
- Segunda aplicação de
sobre o resultado:
Portanto,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios relacionados
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Dado o operador linear
que produz uma rotação do plano de um ângulo
, calcular
e
nos casos de:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Dada a transformação linear
tal que
a) determinar a matriz canônica de
;
b) calcular ;
c) calcular .
b) calcular
c) calcular