Dada a transformação linear , tal que e , calcular em função de u e v:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear que transforma vetores do espaço para o espaço . A gente sabe como age nos vetores e :
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, onde elas respeitam a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo é expressar em função de e , ou seja, descobrir como atua em qualquer combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser escrita para qualquer vetor como:
Isso porque transformações lineares distribuem-se sobre a adição e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos substituir e pelas expressões dadas:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Passo 5
Em seguida, podemos agrupar os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a transformação linear em função de e é: