Dada a transformação linear , tal que e , calcular em função de u e v:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear que transforma vetores do espaço para o espaço . A gente sabe como age nos vetores e :
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, onde elas respeitam a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo é expressar em função de e , ou seja, descobrir como atua em qualquer combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser escrita para qualquer vetor como:
Isso porque transformações lineares distribuem-se sobre a adição e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos substituir e pelas expressões dadas:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:

Passo 5

Em seguida, podemos agrupar os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, a transformação linear em função de e é:

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Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz que diagonaliza a matriz dada e calcule .
(d)
Seja uma matriz triangular superior, com todos os seus elementos acima da diagonal principal distintos e não nulos
Qual é o polinômio minimal de ?
a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .
Obtenha as equações paramétricas e gerais dos planos e , onde:
(a) é o plano que passa pelos pontos e ;
Resposta:
(b) é o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e
Resposta: