Dada a transformação linear T: V longrightarrow W, tal que T(u)=3 u e T(v)=u-v, calcular em função de u e v:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear T(u) = 3u e T(v) = u - v que transforma vetores do espaço para o espaço . A gente sabe como age nos vetores e :
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, onde elas respeitam a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo é expressar em função de e , ou seja, descobrir como atua em qualquer combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear T(x) = a,T(u) + b,T(v) pode ser escrita para qualquer vetor como:
Isso porque transformações lineares distribuem-se sobre a adição e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos substituir T(x) = a, (3u) + b, (u - v) e pelas expressões dadas:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
T(x) = 3a,u + b,u - b,v

Passo 5

Em seguida, podemos agrupar os termos semelhantes:
T(x) = (3a + b)u - b,v

Resposta

Portanto, a transformação linear T(au + bv) = (3a + b)u - b,v em função de e é:

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