a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para determinar uma transformação linear que transforma certos vetores específicos em outros vetores dados. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como representá-las com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso significa que cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de , ou seja, e .
Passo 3
Vamos chamar a matriz assim:
Aqui, são os elementos que precisamos encontrar.
Passo 4
Sabemos que:
Usando a propriedade da linearidade, podemos escrever:
Passo 5
Multiplicando as matrizes, temos:
Para :
Isso nos dá as equações:
Para :
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, substituímos , , e nas equações anteriores:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, a matriz fica:
Então, a transformação linear é dada por:
Passo 8
Agora, para a segunda parte, precisamos encontrar tal que .