a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para determinar uma transformação linear que transforma certos vetores específicos em outros vetores dados. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como representá-las com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso significa que cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de , ou seja, e .
Passo 3
Vamos chamar a matriz assim:
Aqui, são os elementos que precisamos encontrar.
Passo 4
Sabemos que:
T(-1,1) = (3,2,1)
T(0,1) = (1,1,0)
Usando a propriedade da linearidade, podemos escrever:
A -1 1 = 3 2 1
A 0 1 = 1 1 0
Passo 5
Multiplicando as matrizes, temos:
Para -1 cdot a c e + 1 cdot b d f = 3 2 1 :
-b + b = 3 Rightarrow -a + b = 3
Isso nos dá as equações:
-c + d = 2
-e + f = 1
0 cdot a c e + 1 cdot b d f = 1 1 0
Para b = 1 :
d = 1
Isso nos dá:
f = 0
Passo 6
Agora, substituímos -a + 1 = 3 Rightarrow a = -2 , -c + 1 = 2 Rightarrow c = -1 , e -e + 0 = 1 Rightarrow e = -1 nas equações anteriores:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, a matriz A = -2 & 1 -1 & 1 -1 & 0 fica:
T(x, y) = A x y = -2x + y -x + y -x
Então, a transformação linear é dada por:
Passo 8
Agora, para a segunda parte, precisamos encontrar -2x + y = -2 - x + y = 1 - x = -3 tal que .
Vamos chamar . Então, temos:
Passo 9
Resolvendo a terceira equação:
- x = -3 Rightarrow x = 3
Substituindo -3 + y = 1 Rightarrow y = 4 na segunda equação:
Passo 10
Então, o vetor v = (3, 4) que satisfaz é:
Resposta
a) A transformação linear T(x, y) = -2x + y - x + y - x é dada por: