a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para determinar uma transformação linear que transforma certos vetores específicos em outros vetores dados. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como representá-las com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso significa que cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de , ou seja, e .

Passo 3

Vamos chamar a matriz assim:
Aqui, são os elementos que precisamos encontrar.

Passo 4

Sabemos que:
Usando a propriedade da linearidade, podemos escrever:

Passo 5

Multiplicando as matrizes, temos:
Para :
Isso nos dá as equações:
Para :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, substituímos , , e nas equações anteriores:

Passo 7

Com todos os valores encontrados, a matriz fica:
Então, a transformação linear é dada por:

Passo 8

Agora, para a segunda parte, precisamos encontrar tal que .
Vamos chamar . Então, temos:

Passo 9

Resolvendo a terceira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Então, o vetor que satisfaz é:

Resposta

a) A transformação linear é dada por:
b) O vetor tal que é:

Exercícios relacionados

Dada a transformação linear , tal que e , calcular em função de u e v:
Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz que diagonaliza a matriz dada e calcule .
(d)
Obtenha as equações paramétricas e gerais dos planos e , onde:
(a) é o plano que passa pelos pontos e ;
Resposta:
(b) é o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e
Resposta:
Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçāo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos e .
56) .