Obtenha as equações paramétricas e gerais dos planos pi1 e pi2, onde:
(a) pi1 é o plano que passa pelos pontos A=(1,1,4), B=(6,5,4) e C=(-2,0,2);
Resposta: 8 x-10 y-7 z+30=0
(b) pi2 é o plano que passa pelo ponto D=(1,1,1) e é paralelo aos vetores u=(2,3,-2) e v=(8,5,2)
Resposta: 8 x-10 y-7 z+9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações parametrizadas e gerais de dois planos diferentes. No item (a), temos que encontrar o plano que passa por três pontos específicos: A, B e C. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial desses vetores, que nos dará o vetor normal.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB e AC:
AB = B - A = (6-1, 5-1, 4-4) = (5, 4, 0)
AC = C - A = (-2-1, 0-1, 2-4) = (-3, -1, -2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC para encontrar o vetor normal n:
n = AB times AC = i & j & k 5 & 4 & 0 -3 & -1 & -2
n = i(4 cdot (-2) - 0 cdot (-1)) - j(5 cdot (-2) - 0 cdot (-3)) + k(5 cdot (-1) - 4 cdot (-3))
n = i(-8) - j(-10) + k( -5 +12 )
n = (-8, 10, 7)

Passo 5

Com o vetor normal n = (-8, 10, 7) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,1,4), podemos usar a equação geral do plano:
-8(x - 1) + 10(y - 1) + 7(z - 4) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
-8x + 8 + 10y -10 + 7z -28 = 0
-8x + 10y + 7z -30 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação positiva:
8x -10y -7z +30 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver o item (b), que solicita encontrar a equação do plano pi2 que passa pelo ponto D=(1,1,1) e é paralelo aos vetores u=(2,3,-2) e . Para isso, também precisamos determinar um vetor normal ao plano e utilizar a equação geral do plano.

Passo 8

Primeiro, como o plano é paralelo aos vetores u e v, esses vetores estão no plano. Para encontrar um vetor normal, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = u times v = i & j & k 2 & 3 & -2 8 & 5 & 2
n = i(3 cdot 2 - (-2) cdot 5) - j(2 cdot 2 - (-2) cdot 8) + k(2 cdot 5 - 3 cdot 8)
n = i(6 +10) - j(4 +16) + k(10 -24)
n = (16, -20, -14)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (8, -10, -7)

Passo 9

Com o vetor normal n = (8, -10, -7) e sabendo que o plano passa pelo ponto D=(1,1,1), usamos a equação geral do plano:
8(x -1) -10(y -1) -7(z -1) = 0

Passo 10

Simplificando a equação:
8x -8 -10y +10 -7z +7 = 0
8x -10y -7z +9 =0

Resposta

A equação geral do plano pi2 é 8x -10y -7z +9=0.

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