Obtenha as equações paramétricas e gerais dos planos e , onde:
(a) é o plano que passa pelos pontos e ;
Resposta:
(b) é o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações parametrizadas e gerais de dois planos diferentes. No item (a), temos que encontrar o plano que passa por três pontos específicos: A, B e C. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial desses vetores, que nos dará o vetor normal.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal :
Passo 5
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,1,4), podemos usar a equação geral do plano:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação positiva:
Passo 7
Agora, vamos resolver o item (b), que solicita encontrar a equação do plano que passa pelo ponto D=(1,1,1) e é paralelo aos vetores e . Para isso, também precisamos determinar um vetor normal ao plano e utilizar a equação geral do plano.
Passo 8
Primeiro, como o plano é paralelo aos vetores e , esses vetores estão no plano. Para encontrar um vetor normal, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 9
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto D=(1,1,1), usamos a equação geral do plano: