Obtenha as equações paramétricas e gerais dos planos e , onde:
(a) é o plano que passa pelos pontos e ;
Resposta:
(b) é o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações parametrizadas e gerais de dois planos diferentes. No item (a), temos que encontrar o plano que passa por três pontos específicos: A, B e C. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial desses vetores, que nos dará o vetor normal.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal :
Com o vetor normal n = (-8, 10, 7) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,1,4), podemos usar a equação geral do plano:
-8(x - 1) + 10(y - 1) + 7(z - 4) = 0
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
-8x + 8 + 10y -10 + 7z -28 = 0
-8x + 10y + 7z -30 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação positiva:
8x -10y -7z +30 = 0
Passo 7
Agora, vamos resolver o item (b), que solicita encontrar a equação do plano pi2 que passa pelo ponto D=(1,1,1) e é paralelo aos vetores u=(2,3,-2) e . Para isso, também precisamos determinar um vetor normal ao plano e utilizar a equação geral do plano.
Passo 8
Primeiro, como o plano é paralelo aos vetores u e v, esses vetores estão no plano. Para encontrar um vetor normal, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores: