Dada a transformação linear T: V-W, tal que T(u)-3 u e T(v)=u-V, calcular em função de uev
T(u+v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores do espaço para o espaço . As informações que temos são e . Nosso objetivo é descobrir como age sobre a soma dos vetores e , ou seja, calcular .
Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que seguem duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades nos permitem manipular e combinar transformações de vetores de maneira previsível.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade da aditividade da transformação linear. Isso significa que T(u + v) = T(u) + T(v) pode ser separado em . Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos os valores que já conhecemos para T(u + v) = 3u + (u - v) e . Sabemos que e . Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão resultante combinando os termos semelhantes. Somando os termos com 3u + u - v = 4u - v e os termos com , temos:

Resposta

Portanto, .

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