Determine uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta e é paralela ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto , que intersecta a reta e que é paralela ao plano .
Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com vetores diretores, sistemas de equações e entender o que significa uma reta ser paralela a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta que queremos encontrar ser paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se o seu vetor diretor é paralelo ao plano, ou seja, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é .
Então, se é o vetor diretor da nossa reta, para que ela seja paralela ao plano, devemos ter:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a nossa reta deve ser concorrente com a reta . Isso significa que as duas retas devem intersectar em um ponto.
Vamos considerar a equação paramétrica da nossa reta que procuramos:
E a equação paramétrica da reta :
Para que as retas se intersectem, deve existir um par de valores e que satisfaça:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as relações entre mu b = mu a2 .
Das equações:
mu c + 1 = mu b => mu b = mu a2 => b = a2
mu c + 1 = mu b => mu c + 1 = mu cdot a2
mu c - mu cdot a2 = -1 => mu ( c - a2 ) = -1
Agora, igualando as expressões para c - a2 = -1 :
c = a2 - 1
Da primeira igualdade:
Se (já que estamos buscando uma direção), podemos dividir ambos os lados por :
Da segunda igualdade:
Substituindo :
Podemos escolher para simplificar:
Passo 5
Agora, temos as relações:
b = a2
c = a2 - 1
Além disso, lembra que o vetor diretor 2a - 3b + 4c = 0 deve satisfazer: