Determine uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P0=(1,0,2), é concorrente com a reta s: P=(1,0,1)+lambda(2,1,1), lambda in R e é paralela ao plano pi: 2 x-3 y+4 z-6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto , que intersecta a reta e que é paralela ao plano .
Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com vetores diretores, sistemas de equações e entender o que significa uma reta ser paralela a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta que queremos encontrar ser paralela ao plano d cdot n = 0 . Uma reta é paralela a um plano se o seu vetor diretor é paralelo ao plano, ou seja, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano 2a - 3b + 4c = 0 é .
Então, se é o vetor diretor da nossa reta, para que ela seja paralela ao plano, devemos ter:

Passo 3

Agora, vamos considerar que a nossa reta deve ser concorrente com a reta R: P = P0 + mu d . Isso significa que as duas retas devem intersectar em um ponto.
Vamos considerar a equação paramétrica da nossa reta que procuramos:
R: (x, y, z) = (1, 0, 2) + mu(a, b, c)
s: (x, y, z) = (1, 0, 1) + lambda(2, 1, 1)
E a equação paramétrica da reta 1 + mu a = 1 + 2lambda 0 + mu b = 0 + lambda 2 + mu c = 1 + lambda :
Para que as retas se intersectem, deve existir um par de valores e que satisfaça:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as relações entre mu b = mu a2 .
Das equações:
  1. mu c + 1 = mu b => mu b = mu a2 => b = a2
  2. mu c + 1 = mu b => mu c + 1 = mu cdot a2
  3. mu c - mu cdot a2 = -1 => mu ( c - a2 ) = -1
Agora, igualando as expressões para c - a2 = -1 :
c = a2 - 1
Da primeira igualdade:
Se (já que estamos buscando uma direção), podemos dividir ambos os lados por :
Da segunda igualdade:
Substituindo :
Podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Agora, temos as relações:
b = a2
c = a2 - 1
Além disso, lembra que o vetor diretor 2a - 3b + 4c = 0 deve satisfazer:
2a - 3(a2) + 4(a2 - 1) = 0
Substituindo 2a - 3a2 + 2a - 4 = 0 e (2a + 2a) - 3a2 - 4 = 0 :
4a - 3a2 - 4 = 0
8a - 3a2 - 4 = 0
5a2 = 4
a = 85
a = 85
b = a2 = 45
c = a2 - 1 = 45 - 1 = -15
Agora, encontramos:

Passo 6

Com os valores de d = ( 85, 45, -15 ) determinados, podemos escrever o vetor diretor da nossa reta:
R: (x, y, z) = (1, 0, 2) + mu ( 85, 45, -15 ), mu in R
Agora, a equação paramétrica da reta que procuramos, que passa por e tem o vetor diretor é:

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
x = 1 + dfrac85 mu y = 0 + dfrac45 mu z = 2 - dfrac15 mu , mu in R

Exercícios relacionados