Dada a transformação linear T: V-W, tal que T(u)-3 u e T(v)=u-V, calcular em função de uev
T(3 v)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de um espaço vetorial para outro . Nos dizem como age sobre dois vetores específicos e :
A pergunta é: Como calcular em termos de e ?
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares, que nos permitem decompor de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T(cw) = c,T(w) satisfaz a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar e vetor , temos:
Isso nos diz que multiplicar o vetor por um escalar antes de aplicar é o mesmo que multiplicar o resultado de pelo mesmo escalar.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde queremos encontrar T(3v) = 3,T(v) , temos:
Aqui, simplesmente tiramos o escalar 3 para fora da transformação.

Passo 4

Agora, sabemos pelo enunciado que T(3v) = 3,T(v) = 3,(u - v) . Vamos substituir isso na equação:

Passo 5

Finalmente, distribuímos o 3 dentro do parêntese:
T(3v) = 3u - 3v

Resposta

T(3v) = 3u - 3v

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