Dada a transformação linear
, tal que
, calcular em função de uev
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de um espaço vetorial
para outro
. Nos dizem como
age sobre dois vetores específicos
e
:
A pergunta é: Como calcular
em termos de
e
?
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares, que nos permitem decompor
de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
satisfaz a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar
e vetor
, temos:
Isso nos diz que multiplicar o vetor por um escalar antes de aplicar
é o mesmo que multiplicar o resultado de
pelo mesmo escalar.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde queremos encontrar
, temos:
Aqui, simplesmente tiramos o escalar 3 para fora da transformação.
Passo 4
Agora, sabemos pelo enunciado que
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 5
Finalmente, distribuímos o 3 dentro do parêntese: