Determine uma equação vetorial da reta interseção dos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que é a interseção de dois planos, e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta . Esse vetor diretor pode ser obtido calculando o produto vetorial dos vetores normais dos planos e .
Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence à reta 2x + y - z = -3 -x + 2y + z = 2 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos ( e ) para encontrar as coordenadas desse ponto.
Temos o sistema:
Passo 5
Vamos somar as duas equações para eliminar (2x + y - z) + (-x + 2y + z) = -3 + 2 :
x + 3y = -1
x = -1 - 3y
Vamos expressar em função de :
Passo 6
Agora, vamos atribuir um valor a x = -1 - 3(0) = -1 para encontrar 2(-1) + 0 - z = -3 Rightarrow -2 - z = -3 Rightarrow z = 1 e . Vamos supor que :
Substituindo e na primeira equação do sistema:
Portanto, um ponto da reta é .
Resposta
A equação vetorial da reta r = -1 0 1 + t 3 -1 5 , t in R é: