Determine os valores reais de k, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
c x+k y+3 z=2 -x-y+z=-1 2 x+3 y+k z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! A pergunta é para encontrar os valores de que deixam o sistema com uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de consistência do sistema, para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Ela fica assim:
A = 1 & k & 3 -1 & -1 & 1 2 & 3 & k

Passo 3

O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução ou não. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot -1 & 1 3 & k - k cdot -1 & 1 2 & k + 3 cdot -1 & -1 2 & 3 :
-1 & 1 3 & k = (-1) cdot k - 1 cdot 3 = -k - 3
Calculando os menores:
-1 & 1 2 & k = (-1) cdot k - 1 cdot 2 = -k - 2
-1 & -1 2 & 3 = (-1) cdot 3 - (-1) cdot 2 = -3 + 2 = -1
det(A) = 1 cdot (-k - 3) - k cdot (-k - 2) + 3 cdot (-1) = -k - 3 + k^2 + 2k - 3 = k^2 + k - 6
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos analisar o determinante:
det(A) = k^2 + k - 6
Queremos que esse determinante seja diferente de zero para uma única solução:
k^2 + k - 6 neq 0
Vamos resolver a equação quadrática k = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52 :
Então, as soluções são e .

Passo 6

Agora, vamos resumir:
  • Uma única solução: quando , ou seja, e .
  • Infinitas soluções ou nenhuma solução: quando , ou seja, ou .
Precisamos verificar qual desses valores de resulta em infinitas soluções e qual resulta em nenhuma solução.

Passo 7

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando x + 2y + 3z = 2 -x - y + z = -1 2x + 3y + 2z = 3 :
    Substituindo no sistema:
    x - 3y + 3z = 2 -x - y + z = -1 2x + 3y -3z = 3
    Resolvendo, encontramos que há infinitas soluções.
  2. Quando :
    Substituindo no sistema:
    Resolvendo, percebemos que as equações são inconsistentes, ou seja, não há solução.

Resposta

  • (i) Uma única solução: Para todos os valores de diferentes de 2 e -3, ou seja, e .
  • (ii) Infinitas soluções: Quando .
  • (iii) Nenhuma solução: Quando .

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