Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio minimal da matriz . O polinômio minimal é o menor polinômio monico (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz nula. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e analisar seus fatores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 0 2 & -lambda & 0 -1 & 1 & 2 - lambda é dado por:
Agora que temos o polinômio característico, precisamos encontrar suas raízes, que são os autovalores de 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Rightarrow 1 é uma raiz . Vamos resolver lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 4) .
Tentemos valores inteiros:
Para lambda^2 - 4lambda + 4 = (lambda - 2)^2 :
p(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)^2 é
Fatorando , temos:
Agora, fatorando :
Então, o polinômio característico é:
O polinômio minimal precisa ter os mesmos fatores lineares, mas com multiplicidade mínima necessária para anular a matriz. Como a multiplicidade de é 2 no polinômio característico, o minimal também terá .