Qual o POLINÔMIO MINIMAL da matriz A (dada abaixo)?
A=[rrr 3 & -1 & 0 2 & 0 & 0 -1 & 1 & 2 ]
(A) x(x-3)(x-2)
(B) (x-2)(x-1)
© (x-2)^3
(D) (x-1)^2
(E) (x-2)^2
(F) (x-2)^2(x-1)
(G) (x-2)(x-1)^2
(H) (x-1)^3
(I) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio minimal da matriz . O polinômio minimal é o menor polinômio monico (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz nula. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e analisar seus fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 0 2 & -lambda & 0 -1 & 1 & 2 - lambda é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-lambda)(2 - lambda) - 0 cdot 1] - (-1)[2(2 - lambda) - 0 cdot (-1)] + 0 cdot (determinante restante)
Onde p(lambda) = (3 - lambda)(-lambda (2 - lambda)) + 1 cdot (2(2 - lambda)) é a matriz identidade. Vamos calcular = (3 - lambda)(-lambda cdot 2 + lambda^2) + 2(2 - lambda) :
= (3 - lambda)(lambda^2 - 2lambda) + 4 - 2lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= 3lambda^2 - 6lambda - lambda^3 + 2lambda^2 + 4 - 2lambda
Simplificando:
p(lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4
p(lambda) = lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4
Distribuindo:
Combinando termos semelhantes:
Para facilitar, vamos reescrever:

Passo 3

Agora que temos o polinômio característico, precisamos encontrar suas raízes, que são os autovalores de 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Rightarrow 1 é uma raiz . Vamos resolver lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 4) .
Tentemos valores inteiros:
Para lambda^2 - 4lambda + 4 = (lambda - 2)^2 :
p(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)^2 é
Fatorando , temos:
Agora, fatorando :
Então, o polinômio característico é:
O polinômio minimal precisa ter os mesmos fatores lineares, mas com multiplicidade mínima necessária para anular a matriz. Como a multiplicidade de é 2 no polinômio característico, o minimal também terá .

Resposta

A opção correta é a (F) .

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