Dada a transformação lineares F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z)=(2 z ; 0 ; 2 x).
Dê uma base da imagem e sua dimensão;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre transformações lineares, que é um conceito de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar uma base para a imagem da transformação definida por . Além disso, também vamos descobrir qual é a dimensão dessa imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem (ou “imagem”) de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Ou seja, é o conjunto de todas as saídas possíveis de .

Passo 3

Observando a transformação , percebemos que o componente do vetor de entrada não aparece na saída. Isso significa que o valor de não influencia o resultado, então a imagem de depende apenas de e .

Passo 4

Vamos expressar a imagem de F(x, y, z) = x cdot (0, 0, 2) + z cdot (2, 0, 0) usando combinações lineares dos vetores que aparecem na saída. Como , podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.

Passo 5

Agora, vamos identificar uma base para a imagem. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço da imagem. Pelo que vimos, os vetores e são suficientes para gerar qualquer vetor na imagem de .

Passo 6

Finalmente, para descobrir a dimensão da imagem, contamos quantos vetores há na base. Como temos dois vetores e , a dimensão da imagem é 2.

Resposta

Uma base da imagem de é e a dimensão da imagem é 2.

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