Dada a transformação lineares
definida por
.
Dê uma base da imagem e sua dimensão;
Dê uma base da imagem e sua dimensão;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre transformações lineares, que é um conceito de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar uma base para a imagem da transformação
definida por
. Além disso, também vamos descobrir qual é a dimensão dessa imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem (ou “imagem”) de
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
. Ou seja, é o conjunto de todas as saídas possíveis de
.
Passo 3
Observando a transformação
, percebemos que o componente
do vetor de entrada não aparece na saída. Isso significa que o valor de
não influencia o resultado, então a imagem de
depende apenas de
e
.
Passo 4
Vamos expressar a imagem de
usando combinações lineares dos vetores que aparecem na saída. Como
, podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de
pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores.
Passo 5
Agora, vamos identificar uma base para a imagem. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço da imagem. Pelo que vimos, os vetores
e
são suficientes para gerar qualquer vetor na imagem de
.
Passo 6
Finalmente, para descobrir a dimensão da imagem, contamos quantos vetores há na base. Como temos dois vetores
e
, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
Uma base da imagem de
é
e a dimensão da imagem é 2.