Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjuntos dos pares x, y de números reais com as operações:
(x0, y0)+(x, y)=(x0+x, y0+y) e lambda(x, y)=(lambda+x, lambda+y)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto específico, que é formado por pares de números reais , com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma certa maneira, é ou não um espaço vetorial real. Para isso, vamos lembrar dos critérios que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial, como propriedades de adição, existência de elemento neutro, associatividade, distributividade, entre outras. Vamos analisar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações que estão sendo definidas no conjunto:
  • Adição:
    Aqui, somamos dois pares de números reais componente a componente. Isso parece normal, certo?
  • Multiplicação por escalar:
    Essa é a parte meio estranha. Em espaços vetoriais tradicionais, multiplicamos cada componente por um escalar, não somamos. Normalmente seria . Então, já notamos algo diferente aqui.

Passo 3

Agora, vamos verificar as propriedades necessárias para que esse conjunto seja um espaço vetorial. Uma das primeiras coisas que checamos é se a adição é comutativa e associativa, e se existe um elemento neutro. No nosso caso:
  • Comutatividade da adição: , que é igual a . Então, sim, a adição é comutativa.
  • Elemento neutro: Precisamos de um par tal que . Aqui, isso funciona bem.
Até aqui, tudo parece ok com a adição.

Passo 4

Vamos agora ver a multiplicação por escalar. Em um espaço vetorial, a multiplicação por escalar deve satisfazer certas propriedades, como a distributividade em relação à adição de vetores e a multiplicação associativa com os escalares.
No nosso caso, temos:
lambda (x, y) = (lambda + x, lambda + y)
Isso significa que, ao multiplicar um par por um escalar, estamos somando o escalar a cada componente, e não multiplicando. Vamos ver se isso quebra alguma propriedade:
  • Distributividade em relação à adição de vetores:
    Deveria valer .
    Mas, segundo a definição dada:
    .
    Essa igualdade não é verdadeira a menos que , o que não é o caso geral. Portanto, a propriedade não é satisfeita.

Passo 5

Além disso, vamos checar outra propriedade importante: a multiplicação associativa com os escalares. Deveria valer .
Calculando cada lado:
  • Lado esquerdo:
  • Lado direito:
Claramente, na maioria dos casos, então essa propriedade também não é satisfeita.

Resposta

Não, o conjunto dos pares de números reais com as operações definidas não é um espaço vetorial real, pois a multiplicação por escalar não satisfaz as propriedades necessárias.

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