Dada a transformação lineares definida por .
Dê uma base do Núcleo sua dimensão;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Transformações Lineares, que faz parte da Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o Núcleo da transformação definida por e determinar a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar esse conjunto de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação . Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa transformação . Queremos encontrar todos os vetores que satisfazem:
Passo 4
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x, y e z que pertencem ao núcleo.
Passo 5
Da primeira equação 2z = 0, concluímos que z = 0.
Da terceira equação 2x = 0, concluímos que x = 0.
A segunda equação 0 = 0 não impõe nenhuma restrição sobre y, então y pode ser qualquer número real.
Passo 6
Portanto, os vetores no núcleo são da forma (0, y, 0), onde y é um número real qualquer. Podemos escrever isso como:
Ker(F) = (0, y, 0) mid y in R
Passo 7
Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Nesse caso, qualquer vetor da forma (0, y, 0) pode ser escrito como y cdot (0, 1, 0). Assim, um vetor que gera o núcleo é (0, 1, 0).
Passo 8
Como temos apenas um vetor na base e ele é não nulo, a base do núcleo é:
, (0, 1, 0) ,
Resposta
Uma base para o Núcleo de F é , (0, 1, 0) , e a dimensão do Núcleo é 1.