Dada a transformação lineares F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z)=(2 z ; 0 ; 2 x).
Dê uma base do Núcleo sua dimensão;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformações Lineares, que faz parte da Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o Núcleo da transformação F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z) = (2z, 0, 2x) e determinar a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar esse conjunto de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear F, denotado por Ker(F), é o conjunto de todos os vetores v in R^3 que são mapeados para o vetor zero pela transformação F. Ou seja:
Ker(F) = v in R^3 mid F(v) = 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa transformação F(x, y, z) = (2z, 0, 2x). Queremos encontrar todos os vetores (x, y, z) que satisfazem:
F(x, y, z) = (2z, 0, 2x) = (0, 0, 0)

Passo 4

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2z = 0 0 = 0 2x = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x, y e z que pertencem ao núcleo.

Passo 5

Da primeira equação 2z = 0, concluímos que z = 0.
Da terceira equação 2x = 0, concluímos que x = 0.
A segunda equação 0 = 0 não impõe nenhuma restrição sobre y, então y pode ser qualquer número real.

Passo 6

Portanto, os vetores no núcleo são da forma (0, y, 0), onde y é um número real qualquer. Podemos escrever isso como:
Ker(F) = (0, y, 0) mid y in R

Passo 7

Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Nesse caso, qualquer vetor da forma (0, y, 0) pode ser escrito como y cdot (0, 1, 0). Assim, um vetor que gera o núcleo é (0, 1, 0).

Passo 8

Como temos apenas um vetor na base e ele é não nulo, a base do núcleo é:
, (0, 1, 0) ,

Resposta

Uma base para o Núcleo de F é , (0, 1, 0) , e a dimensão do Núcleo é 1.

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