Dada a transformação lineares definida por .
Dê uma base da imagem e sua dimensão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares. A gente tem a transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem dessa transformação e descobrir qual é a dimensão dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá a imagem desse vetor pela transformação.
Então, vamos montar a matriz que representa . Olhando para , podemos ver que:
Passo 3
A imagem da transformação linear Coluna 1 = 0 1 0 , Coluna 2 = 0 -1 0 , Coluna 3 = 1 0 -1 é o espaço coluna da matriz , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Vamos identificar essas colunas:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas colunas são lineares independentes ou se alguma delas pode ser escrita como combinação das outras. Observamos que a Coluna 2 é múltiplo da Coluna 1:
Coluna 2 = -1 times Coluna 1
Isso significa que a Coluna 2 não adiciona nenhuma nova direção ao espaço imagem. Portanto, podemos ignorá-la para formar uma base.
Passo 5
Agora, temos duas colunas que não são múltiplos entre si: a Coluna 1 e a Coluna 3. Precisamos verificar se elas são lineares independentes. Para isso, vemos se existe uma combinação linear dessas duas colunas que resulte no vetor nulo somente quando os coeficientes forem zero.
Assumindo que:
a 0 1 0 + b 1 0 -1 = 0 0 0
Isso nos dá o sistema:
0a + 1b = 0 1a + 0b = 0 0a -1b = 0
A única solução é e , o que confirma que as duas colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Portanto, uma base para a imagem de 0 1 0 , 1 0 -1 é formada pelas Coluna 1 e Coluna 3 da matriz :
E a dimensão da imagem é 2, já que temos duas vetores na base.
Resposta
Uma base da imagem de 0 1 0 é formada pelos vetores 1 0 -1 e sua dimensão é 2.