Dada a transformação lineares S: R^3 R^3 definida por S(x, y, z)=(z ; x-y ;-z).
Dê uma base do Núcleo sua dimensão;

Passo 1

Então, temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o Núcleo dessa transformação e determinar a dimensão desse Núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é o Núcleo (ou kernel) de uma transformação linear e como encontrar os vetores que pertencem a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de uma transformação linear S(x, y, z) = (0, 0, 0) é o conjunto de todos os vetores em que são transformados no vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:

Passo 3

Vamos agora igualar a transformação (z, x - y, -z) = (0, 0, 0) a zero e resolver o sistema de equações resultante:
z = 0 x - y = 0 -z = 0
Isso nos dá o seguinte sistema:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Da terceira equação, , que confirma que .
  3. Da segunda equação, , então .

Passo 5

Com essas informações, podemos expressar os vetores do Núcleo da seguinte forma:
(x, y, z) = (y, y, 0) = y cdot (1, 1, 0)
Isso mostra que todo vetor no Núcleo é um múltiplo do vetor .

Passo 6

Então, a base do Núcleo é o conjunto que contém apenas o vetor . E como há apenas um vetor nessa base, a dimensão do Núcleo é 1.

Resposta

Uma base do Núcleo é e sua dimensão é 1.

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