Dada a transformação lineares definida por .
Dê uma base do Núcleo sua dimensão;
Passo 1
Então, temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o Núcleo dessa transformação e determinar a dimensão desse Núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é o Núcleo (ou kernel) de uma transformação linear e como encontrar os vetores que pertencem a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que são transformados no vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Passo 3
Vamos agora igualar a transformação a zero e resolver o sistema de equações resultante:
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da primeira equação, .
Da terceira equação, , que confirma que .
Da segunda equação, , então .
Passo 5
Com essas informações, podemos expressar os vetores do Núcleo da seguinte forma:
(x, y, z) = (y, y, 0) = y cdot (1, 1, 0)
Isso mostra que todo vetor no Núcleo é um múltiplo do vetor .
Passo 6
Então, a base do Núcleo é o conjunto que contém apenas o vetor . E como há apenas um vetor nessa base, a dimensão do Núcleo é 1.