Encontre as coordenadas do vetor (4,6,7) de R^3 em relação as seguintes bases: Base Canônica: alpha=e1, e2, e3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor no espaço tridimensional usando a Base Canônica . Isso envolve entender o que é uma base canônica e como expressar um vetor em relação a essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Base Canônica em e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) . Ela é formada pelos vetores:
Esses vetores são chamados de “canônicos” porque servem como referência padrão para representar qualquer vetor no espaço.

Passo 3

Agora, qualquer vetor v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Os coeficientes , e são exatamente as coordenadas do vetor na Base Canônica.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso vetor v = 4 e1 + 6 e2 + 7 e3 , temos:
Isso mostra que as coordenadas do vetor na Base Canônica são simplesmente seus próprios componentes.

Resposta

As coordenadas do vetor na Base Canônica são .

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