Dados os subesços e , determine bases para e para
Não consegui 😦
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar bases para a soma dos subespaços e para a interseção . Isso envolve entender conceitos de subespaços, combinação linear e métodos para encontrar bases. Vamos precisar usar matrizes e operações de linha para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para a soma . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de e . Então, vamos juntar todos os vetores de e e verificar quais são linearmente independentes.
Passo 3
Os vetores de são:
E os de A = 1 & 1 & 0 & 2 1 & 2 & -1 & 0 1 & 0 & 2 & 7 1 & -2 & 1 & 2 são:
Vamos formar uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 4
Agora, vamos realizar a redução de linha para encontrar quais colunas são independentes. O objetivo é transformar a matriz 1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & -2 0 & -1 & 2 & 5 0 & -3 & 1 & 0 em uma forma escalonada.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais para eliminar os 1’s na primeira coluna:
Passo 5
Em seguida, vamos trabalhar com a segunda coluna. Vamos adicionar a segunda linha à terceira e à quarta para eliminar os termos abaixo dela:
Vemos que a última linha toda zerou, o que indica que há dependência linear entre os vetores.
Passo 7
As colunas que possuem pivôs (1’s que começam cada linha não nula) são as primeiras, segundas e terceiras. Isso significa que os vetores correspondentes são , e .
Passo 8
Portanto, uma base para 1 1 1 1, 1 2 0 -2, 0 -1 2 1 é formada por esses três vetores:
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma base para a interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para isso, vamos resolver o sistema onde um vetor satisfaz .
Passo 10
Montamos o sistema de equações:
a 1 1 1 1 + b 1 2 0 -2 = c 0 -1 2 1 + d 2 0 7 2
Isso resulta em:
a + b = 2d a + 2b = -c a = 2c + 7d a - 2b = c + 2d
Passo 11
Resolvendo esse sistema, encontramos que x = aw1 + bw2 = -2bw1 + bw2 = b(-2w1 + w2) , -21 1 1 1 + 1 2 0 -2 = -2 + 1 -2 + 2 -2 + 0 -2 -2 = -1 0 -2 -4 , e substituindo nas equações, descobrimos que . Então, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como: