Dados os subesços W1=[(1,1,1,1),(1,2,0,-2)] e W2=[(0,-1,2,1),(2,0,7,2)], determine bases para W1+W2 e para W1 cap W2
Não consegui 😦

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar bases para a soma dos subespaços e para a interseção . Isso envolve entender conceitos de subespaços, combinação linear e métodos para encontrar bases. Vamos precisar usar matrizes e operações de linha para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para a soma . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de e . Então, vamos juntar todos os vetores de e e verificar quais são linearmente independentes.

Passo 3

Os vetores de w1 = 1 1 1 1, w2 = 1 2 0 -2 são:
v1 = 0 -1 2 1, v2 = 2 0 7 2
E os de A = 1 & 1 & 0 & 2 1 & 2 & -1 & 0 1 & 0 & 2 & 7 1 & -2 & 1 & 2 são:
Vamos formar uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 4

Agora, vamos realizar a redução de linha para encontrar quais colunas são independentes. O objetivo é transformar a matriz 1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & -2 0 & -1 & 2 & 5 0 & -3 & 1 & 0 em uma forma escalonada.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais para eliminar os 1’s na primeira coluna:

Passo 5

Em seguida, vamos trabalhar com a segunda coluna. Vamos adicionar a segunda linha à terceira e à quarta para eliminar os termos abaixo dela:
1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & -2 & -6

Passo 6

Agora, na terceira coluna, vamos adicionar 2 vezes a terceira linha à quarta para eliminar o -2:
1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0
Vemos que a última linha toda zerou, o que indica que há dependência linear entre os vetores.

Passo 7

As colunas que possuem pivôs (1’s que começam cada linha não nula) são as primeiras, segundas e terceiras. Isso significa que os vetores correspondentes são , e .

Passo 8

Portanto, uma base para 1 1 1 1, 1 2 0 -2, 0 -1 2 1 é formada por esses três vetores:

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma base para a interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para isso, vamos resolver o sistema onde um vetor satisfaz .

Passo 10

Montamos o sistema de equações:
a 1 1 1 1 + b 1 2 0 -2 = c 0 -1 2 1 + d 2 0 7 2
Isso resulta em:
a + b = 2d a + 2b = -c a = 2c + 7d a - 2b = c + 2d

Passo 11

Resolvendo esse sistema, encontramos que x = aw1 + bw2 = -2bw1 + bw2 = b(-2w1 + w2) , -21 1 1 1 + 1 2 0 -2 = -2 + 1 -2 + 2 -2 + 0 -2 -2 = -1 0 -2 -4 , e substituindo nas equações, descobrimos que . Então, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como:
Calculando :

Resposta

Uma base para 1 1 1 1, 1 2 0 -2, 0 -1 2 1 é:
-1 0 -2 -4
E uma base para é:

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