Dada a transformação , definida por
Considere , então é isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear que leva vetores de para matrizes com entradas complexas . A transformação é definida por:
Queremos saber se é um isomorfismo quando considerada como uma transformação para a imagem de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, isomorfismo, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como estamos mapeando para a imagem de , já garantimos que é sobrejetora para a própria imagem. Então, precisamos verificar se é injetora nesse contexto.

Passo 3

Para verificar se é injetora, precisamos mostrar que o núcleo de contém apenas o vetor nulo. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em tais que é a matriz zero. Então, resolvemos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Das duas primeiras equações:
Comparando as duas, temos , o que implica e, consequentemente, .

Passo 5

Agora, olhando para as equações que envolvem e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 6

Assim, concluímos que o único vetor no núcleo de é . Isso significa que é injetora quando mapeada para sua imagem. Já que é sobrejetora para e injetora, é um isomorfismo.

Resposta

Sim, é um isomorfismo quando considerada como uma transformação de para , pois é injetora e sobrejetora.

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Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer:
Mostre que se é um operador linear e esp. vetorial com produto interno sobre satisfazendo:
para todos então
Classifique os sistemas abaixo e resolva apenas os possíveis e determinandos:
.
Se dimensão de é finita mostre que a dimensão de é igual a dimensão de .