Dada a transformação T1: R^4 M2(C), definida por
T1(x, y, z, t)=(cc t+x & y+i z y-i z & t-x )
Considere T1: R^4 Im(T), então T1 é isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear T1(x, y, z, t)=(cc t+x & y+i z y-i z & t-x ) que leva vetores de para matrizes com entradas complexas . A transformação é definida por:
Queremos saber se é um isomorfismo quando considerada como uma transformação para a imagem de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, isomorfismo, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como estamos mapeando para a imagem de , já garantimos que é sobrejetora para a própria imagem. Então, precisamos verificar se é injetora nesse contexto.

Passo 3

Para verificar se T1(x, y, z, t)=(cc t+x & y+i z y-i z & t-x ) = (cc 0 & 0 0 & 0 ) é injetora, precisamos mostrar que o núcleo de t + x = 0 y + i z = 0 y - i z = 0 t - x = 0 contém apenas o vetor nulo. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em tais que é a matriz zero. Então, resolvemos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Das duas primeiras equações:
t + x = 0 Rightarrow t = -x
t - x = 0 Rightarrow t = x
Comparando as duas, temos , o que implica e, consequentemente, .

Passo 5

Agora, olhando para as equações que envolvem y + i z = 0 e y - i z = 0 e 2y = 0 Rightarrow y = 0 :
2i z = 0 Rightarrow z = 0
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 6

Assim, concluímos que o único vetor no núcleo de é . Isso significa que é injetora quando mapeada para sua imagem. Já que é sobrejetora para e injetora, é um isomorfismo.

Resposta

Sim, é um isomorfismo quando considerada como uma transformação de para , pois é injetora e sobrejetora.

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