Mostre que se T: V V é um operador linear e V esp. vetorial com produto interno sobre K=C satisfazendo:
lang<= T(u), vrang<==0 para todos u, v in V então T equiv 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos um operador linear em um espaço vetorial com produto interno sobre os números complexos , e se para todos os vetores a condição é satisfeita, então deve ser o operador nulo (ou seja, ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, operadores lineares e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear ser nulo significa que para todo . Nosso objetivo é provar isso partindo da condição dada para todos .

Passo 3

Agora, vamos escolher um vetor específico para lang<= T(u), T(u) rang<= = 0 . Uma escolha inteligente é pegar |T(u)|^2 = 0 . Substituindo na condição, temos:
Esse produto interno é igual à norma de ao quadrado:

Passo 4

Se a norma de é zero, isso significa que para todo . Portanto, mostramos que envia qualquer vetor para o vetor zero.

Resposta

Consequentemente, , ou seja, o operador é o operador nulo.

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