Mostre que se
é um operador linear e
esp. vetorial com produto interno sobre
satisfazendo:
para todos
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos um operador linear
em um espaço vetorial
com produto interno sobre os números complexos
, e se para todos os vetores
a condição
é satisfeita, então
deve ser o operador nulo (ou seja,
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, operadores lineares e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear
ser nulo significa que
para todo
. Nosso objetivo é provar isso partindo da condição dada
para todos
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um vetor específico para
. Uma escolha inteligente é pegar
. Substituindo na condição, temos:
Esse produto interno é igual à norma de
ao quadrado:
Passo 4
Se a norma de
é zero, isso significa que
para todo
. Portanto, mostramos que
envia qualquer vetor
para o vetor zero.
Resposta
Consequentemente,
, ou seja, o operador
é o operador nulo.