Se dimensão de é finita mostre que a dimensão de é igual a dimensão de .
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial que tem dimensão finita, ou seja, tem um número finito de vetores que formam uma base para ele. A pergunta é para mostrar que a dimensão do espaço dual de , que a gente chama de , também é igual à dimensão de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço dual e como a dimensão desse espaço está relacionada à dimensão do espaço original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço dual . O espaço dual é o conjunto de todas as aplicações lineares de para o campo (que pode ser os números reais, por exemplo). Ou seja,
Isso significa que cada elemento de é uma função que pega vetores de e retorna escalar, respeitando as propriedades de linearidade.
Passo 3
Agora, como a gente vai mostrar que ? A ideia é construir uma base para que tenha exatamente o mesmo número de elementos que uma base de .
Vamos supor que tem dimensão , então existe uma base para . A gente vai construir uma base para usando essa base de .
Passo 4
Para cada vetor da base de , vamos definir uma aplicação linear em chamada que “seleciona” o -ésimo componente de um vetor. Mais formalmente,
onde é o delta de Kronecker, que vale 1 se e 0 caso contrário.
Passo 5
Vamos verificar se esses formam uma base para . Primeiro, eles são linearmente independentes. Se tivermos uma combinação linear
aplicando essa combinação a cada , temos
Isso implica que para todo , mostrando que os são linearmente independentes.
Passo 6
Além disso, qualquer aplicação linear em pode ser escrita como uma combinação linear dos . Se é uma aplicação linear, então existe um vetor tal que
Isso mostra que os geram todo o espaço .
Passo 7
Então, concluímos que a coleção é uma base para e que ela tem exatamente elementos, onde .