Se dimensão de
é finita mostre que a dimensão de
é igual a dimensão de
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
que tem dimensão finita, ou seja, tem um número finito de vetores que formam uma base para ele. A pergunta é para mostrar que a dimensão do espaço dual de
, que a gente chama de
, também é igual à dimensão de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço dual e como a dimensão desse espaço está relacionada à dimensão do espaço original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço dual
. O espaço dual é o conjunto de todas as aplicações lineares de
para o campo
(que pode ser os números reais, por exemplo). Ou seja,
Isso significa que cada elemento de
é uma função que pega vetores de
e retorna escalar, respeitando as propriedades de linearidade.
Passo 3
Agora, como a gente vai mostrar que
? A ideia é construir uma base para
que tenha exatamente o mesmo número de elementos que uma base de
.
Vamos supor que
tem dimensão
, então existe uma base
para
. A gente vai construir uma base para
usando essa base de
.
Passo 4
Para cada vetor da base de
, vamos definir uma aplicação linear em
chamada
que “seleciona” o
-ésimo componente de um vetor. Mais formalmente,
onde
é o delta de Kronecker, que vale 1 se
e 0 caso contrário.
Passo 5
Vamos verificar se esses
formam uma base para
. Primeiro, eles são linearmente independentes. Se tivermos uma combinação linear
aplicando essa combinação a cada
, temos
Isso implica que
para todo
, mostrando que os
são linearmente independentes.
Passo 6
Além disso, qualquer aplicação linear
em
pode ser escrita como uma combinação linear dos
. Se
é uma aplicação linear, então existe um vetor
tal que
Isso mostra que os
geram todo o espaço
.
Passo 7
Então, concluímos que a coleção
é uma base para
e que ela tem exatamente
elementos, onde
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.