Seja o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é . Mostre que a função , que associa a cada função o valor real da integral definida de no intervalo , isto é,
é uma transformação linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções contínuas que mapeiam o intervalo para os números reais. A função está associando a cada função o valor da integral definida de nesse intervalo, ou seja,
Queremos mostrar que é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais precisa satisfazer duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer funções e em ,
  1. Homogeneidade: Para qualquer escalar em e qualquer função em ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade
Vamos calcular :
Pela propriedade da integral de soma, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade
Vamos calcular :
Pela propriedade da integral de constantes multiplicativas, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Como as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que a função é, de fato, uma transformação linear.

Exercícios relacionados

(b) De acordo com o item anterior, o ângulo entre o vetor e o vetor é
( ) ( ) menor que ( ) maior que ;
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.
Dadas as afirmações abaixo:
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no .
Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em .

  • onde é o espaço vetorial de funções continuas no intervalo .
Determine sabendo que este vetor tem norma , é ortogonal a e a , e forma ângulo agudo com .