Seja
o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é
. Mostre que a função
, que associa a cada função
o valor real da integral definida de
no intervalo
, isto é,
é uma transformação linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções contínuas que mapeiam o intervalo
para os números reais. A função
está associando a cada função
o valor da integral definida de
nesse intervalo, ou seja,
Queremos mostrar que
é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais precisa satisfazer duas propriedades principais:
- Aditividade: Para quaisquer funções
e em ,
- Homogeneidade: Para qualquer escalar
em e qualquer função em ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade
Vamos calcular
:
Pela propriedade da integral de soma, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade
Vamos calcular
:
Pela propriedade da integral de constantes multiplicativas, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Resposta
Como as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que a função
é, de fato, uma transformação linear.