Seja
o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é
. Mostre que a função
, que associa a cada função
o valor real da integral definida de
no intervalo
, isto é,
é uma transformação linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções contínuas que mapeiam o intervalo
para os números reais. A função
está associando a cada função
o valor da integral definida de
nesse intervalo, ou seja,
Queremos mostrar que
é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais precisa satisfazer duas propriedades principais:
- Aditividade: Para quaisquer funções
e em ,
- Homogeneidade: Para qualquer escalar
em e qualquer função em ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade
Vamos calcular
:
Pela propriedade da integral de soma, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade
Vamos calcular
:
Pela propriedade da integral de constantes multiplicativas, temos:
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Resposta
Como as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que a função
é, de fato, uma transformação linear.
Exercícios relacionados
(b) De acordo com o item anterior, o ângulo entre o vetor
e o vetor
é
( ) ( ) menor que
( ) maior que
;
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.
( )
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.
Dadas as afirmações abaixo:
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no .
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no
Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em
.
-
-
-
-
ondeé o espaço vetorial de funções continuas no intervalo .
Determine
sabendo que este vetor tem norma
, é ortogonal a
e a
, e forma ângulo agudo com
.