Seja C([a, b], R) o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é f:[a, b] R. Mostre que a função I: C([a, b], R) R, que associa a cada função f(x) o valor real da integral definida de f(x) no intervalo [a, b], isto é,
I(f)=integrala^b f(x) d x
é uma transformação linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o espaço vetorial I(f) = integrala^b f(x) , dx , que é o conjunto de todas as funções contínuas que mapeiam o intervalo para os números reais. A função está associando a cada função o valor da integral definida de nesse intervalo, ou seja,
Queremos mostrar que é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais precisa satisfazer duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer funções I(f + g) = I(f) + I(g) e I(c cdot f) = c cdot I(f) em ,
  1. Homogeneidade: Para qualquer escalar em e qualquer função em ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade
Vamos calcular I(f + g) = integrala^b (f(x) + g(x)) , dx :
integrala^b (f(x) + g(x)) , dx = integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx
Pela propriedade da integral de soma, temos:
I(f + g) = I(f) + I(g)
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade
Vamos calcular I(c cdot f) = integrala^b c cdot f(x) , dx :
integrala^b c cdot f(x) , dx = c cdot integrala^b f(x) , dx
Pela propriedade da integral de constantes multiplicativas, temos:
I(c cdot f) = c cdot I(f)
Ou seja,
Isso mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Como as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que a função é, de fato, uma transformação linear.

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