Determine sabendo que é um operador linear com autoespaços, associados aos autovalores e , dados por: e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o operador que é uma transformação linear de para . A gente sabe que tem dois autovalores, e , com seus respectivos autoespaços e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autoespaços, e como eles nos ajudam a encontrar a forma do operador linear .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autoespaços. Um autovalor de uma transformação linear é um número tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que, quando é aplicado a , resulta em . Ou seja, .
O autoespaço associado a é o conjunto de todos os vetores que satisfazem essa relação, formando um subespaço vetorial. No nosso caso, temos dois autoespaços:
para
para
Passo 3
Agora, vamos entender que, como é linear e tem esses dois autoespaços, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses vetores nos autoespaços. Vamos supor que pode ser representado por uma matriz . Nossa tarefa é encontrar essa matriz .
Para isso, precisamos encontrar uma base de formada por vetores dos autoespaços e .
Passo 4
Vamos começar encontrando vetores que pertençam a cada autoespaço.
Para :
Escolha e :
Escolha e :
Então, temos dois vetores em : e .
Para :
Escolha :
Então, temos um vetor em : .
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses vetores formam uma base para . Para isso, vamos montar uma matriz com essas colunas e verificar se ela é invertível.
Matriz :
Calculemos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base para .
Passo 6
Agora que temos uma base, podemos representar a transformação linear na forma de matriz diagonal em relação a essa base. Os autovalores vão para o diagonal da matriz :
Passo 7
A matriz que representa na base padrão pode ser encontrada usando a relação , onde é a matriz cujas colunas são os vetores da base que encontramos.
Primeiro, precisamos encontrar .
Vamos calcular :
Após realizar os cálculos de matriz inversa, encontramos: