Determine T(x, y, z) sabendo que T: R^3 R^3 é um operador linear com autoespaços, associados aos autovalores lambda1=1 e lambda2=3, dados por:
Wlambda1=(x, x+y, y) mid x, y in R e Wlambda2=(0, x, 2 x) mid x in R, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o operador que é uma transformação linear de para . A gente sabe que tem dois autovalores, e , com seus respectivos autoespaços e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autoespaços, e como eles nos ajudam a encontrar a forma do operador linear .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autoespaços. Um autovalor de uma transformação linear é um número tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que, quando é aplicado a , resulta em . Ou seja, .
O autoespaço associado a é o conjunto de todos os vetores que satisfazem essa relação, formando um subespaço vetorial. No nosso caso, temos dois autoespaços:
  • para
  • para

Passo 3

Agora, vamos entender que, como é linear e tem esses dois autoespaços, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses vetores nos autoespaços. Vamos supor que pode ser representado por uma matriz . Nossa tarefa é encontrar essa matriz .
Para isso, precisamos encontrar uma base de formada por vetores dos autoespaços e .

Passo 4

Vamos começar encontrando vetores que pertençam a cada autoespaço.
Para :
Escolha e :
Escolha e :
Então, temos dois vetores em : e .
Para :
Escolha :
Então, temos um vetor em : .

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses vetores formam uma base para P = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 . Para isso, vamos montar uma matriz com essas colunas e verificar se ela é invertível.
Matriz det(P) = 1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 cdot (2 - 1) = 1 neq 0 :
Calculemos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base para .

Passo 6

Agora que temos uma base, podemos representar a transformação linear D = lambda1 & 0 & 0 0 & lambda1 & 0 0 & 0 & lambda2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 na forma de matriz diagonal em relação a essa base. Os autovalores vão para o diagonal da matriz :

Passo 7

A matriz P = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 que representa P^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 na base padrão pode ser encontrada usando a relação , onde é a matriz cujas colunas são os vetores da base que encontramos.
Primeiro, precisamos encontrar .
Vamos calcular :
Após realizar os cálculos de matriz inversa, encontramos:

Passo 8

Agora, multiplicamos as matrizes A = P D P^-1 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 , A = 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 e para obter :
Fazendo a multiplicação passo a passo, obtemos:

Resposta

Então, a transformação linear T(x, y, z) = 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 x y z = x x + 2y + 2z y + 3z é dada por:

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