Dadas as bases de
e
, responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base:
e
.
(b) Dado o vetor
encontre
usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor
é tal que
encontre
e
.
(a) Ache as matrizes mudança de base:
(b) Dado o vetor
© Se um vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mudança de bases em
. A gente vai precisar entender como passar as coordenadas dos vetores de uma base para outra usando matrizes de mudança de base. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma, passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Encontrar as matrizes de mudança de base
Primeiro, vamos encontrar as matrizes que fazem a transição entre as diferentes bases
,
e
.
A matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, é construída colocando os vetores da base
em colunas. Então:
Essa matriz transforma coordenadas da base
para a base
.
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de
para
,
, precisamos calcular a inversa da matriz que acabamos de encontrar:
Calculando a inversa:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
,
. Primeiro, colocamos os vetores da base
nas colunas:
Para mudar de
para
, usamos:
Mas primeiro precisamos encontrar
, que é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores da base
na base
:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
,
. Para isso, usamos a inversa da matriz
:
Calculando a inversa:
Passo 6
Parte (b): Encontrar as coordenadas do vetor
nas diferentes bases
Agora que temos as matrizes de mudança de base, vamos usá-las para encontrar as coordenadas do vetor
nas bases
,
e
.
Primeiro, na base
, que é a base padrão, as coordenadas de
são simplesmente
.
Para encontrar
, usamos a matriz
:
Então,
.
Para encontrar
, usamos a matriz
e depois multiplicamos por
:
Passo 7
Parte ©: Encontrar
e
dado
Primeiro, queremos achar
. Sabemos que:
Sabemos que
é a inversa de
:
Calculando a inversa:
A inversa dessa matriz é:
Desculpe, houve uma confusão aqui. De fato, a matriz
é:
Sua inversa é:
Ok, para achar a inversa, calculamos o determinante:
Então, a inversa é:
Agora, aplicando à coordenada de
:
Agora, para encontrar
:
Resposta
(a) As matrizes de mudança de base são:
(b) As coordenadas do vetor
nas diferentes bases são:
© Se
, então:
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes subconjuntos
de
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
© é irracional
.
©
Seja
um espaço vetorial. Mostre que se
é uma base de
então
também é uma base de
.
Verifique se a matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
.
Sejam
e
. Demonstre que não existe uma matriz
, tal que
.