Dadas as bases de R^2: alpha1=(1,0),(0,1), alpha=(-1,2),(1,1) e beta=(1,1),(0,-1), responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base: [I]alpha1^alpha,[I]alpha^alpha1,[I]beta^alpha e [I]alpha^beta.
(b) Dado o vetor v=(5,-1) encontre [v]alpha1,[v]alpha,[v]beta usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor w é tal que [w]beta=binom23 encontre [w]alpha1 e [w]alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mudança de bases em . A gente vai precisar entender como passar as coordenadas dos vetores de uma base para outra usando matrizes de mudança de base. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma, passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar as matrizes de mudança de base
Primeiro, vamos encontrar as matrizes que fazem a transição entre as diferentes bases [I]alpha1^alpha = -1 & 1 2 & 1 , e .
A matriz de mudança de base de para , denotada por , é construída colocando os vetores da base em colunas. Então:
Essa matriz transforma coordenadas da base para a base .

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de [I]alpha^alpha1 = ( [I]alpha1^alpha )^-1 para -1 & 1 2 & 1 ^-1 = 1(-1)(1) - (1)(2) 1 & -1 -2 & -1 = 1-3 1 & -1 -2 & -1 = -1/3 & 1/3 2/3 & 1/3 , , precisamos calcular a inversa da matriz que acabamos de encontrar:
Calculando a inversa:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de [I]alpha1^alpha = -1 & 1 2 & 1 para [I]beta^alpha = [I]alpha1^alpha cdot [I]beta^alpha1 , [I]beta^alpha1 = 1 & 0 1 & -1 . Primeiro, colocamos os vetores da base [I]beta^alpha = -1 & 1 2 & 1 cdot 1 & 0 1 & -1 = (-1)(1) + (1)(1) & (-1)(0) + (1)(-1) (2)(1) + (1)(1) & (2)(0) + (1)(-1) = 0 & -1 3 & -1 nas colunas:
Para mudar de para , usamos:
Mas primeiro precisamos encontrar , que é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores da base na base :
Então:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a matriz de mudança de base de [I]alpha^beta = ( [I]beta^alpha )^-1 para 0 & -1 3 & -1 ^-1 = 1(0)(-1) - (-1)(3) -1 & 1 -3 & 0 = 13 -1 & 1 -3 & 0 = -1/3 & 1/3 -1 & 0 , . Para isso, usamos a inversa da matriz :
Calculando a inversa:

Passo 6

Parte (b): Encontrar as coordenadas do vetor 5 -1 nas diferentes bases
Agora que temos as matrizes de mudança de base, vamos usá-las para encontrar as coordenadas do vetor [v]alpha = [I]alpha^alpha1 cdot [v]alpha1 = -1/3 & 1/3 2/3 & 1/3 cdot 5 -1 = (-1/3)(5) + (1/3)(-1) (2/3)(5) + (1/3)(-1) = -6/3 = -2 9/3 = 3 nas bases -2 3 , [v]beta = [I]beta^alpha cdot [v]alpha = 0 & -1 3 & -1 cdot -2 3 = 0(-2) + (-1)(3) 3(-2) + (-1)(3) = -3 -9 e .
Primeiro, na base , que é a base padrão, as coordenadas de são simplesmente .
Para encontrar , usamos a matriz :
Então, .
Para encontrar , usamos a matriz e depois multiplicamos por :

Passo 7

Parte ©: Encontrar 2 3 e [w]alpha1 = [I]alpha1^beta cdot [w]beta dado [I]alpha1^beta = ( [I]beta^alpha1 )^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1
Primeiro, queremos achar 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 . Sabemos que:
1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1
Sabemos que [I]beta^alpha1 = 1 & 0 1 & -1 é a inversa de [I]alpha1^beta = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 = 1 & 0 1 & -1 ^-1 :
det = (1)(-1) - (0)(1) = -1
Calculando a inversa:
1-1 -1 & 0 -1 & 1 = 1 & 0 1 & -1
A inversa dessa matriz é:
[w]alpha1 = [I]alpha1^beta cdot [w]beta = 1 & 0 1 & -1 cdot 2 3 = 1(2) + 0(3) 1(2) + (-1)(3) = 2 -1
Desculpe, houve uma confusão aqui. De fato, a matriz [w]alpha = [I]alpha^alpha1 cdot [w]alpha1 = -1/3 & 1/3 2/3 & 1/3 cdot 2 -1 = (-1/3)(2) + (1/3)(-1) (2/3)(2) + (1/3)(-1) = -2/3 -1/3 = -1 4/3 -1/3 = 1 é:
Sua inversa é:
Ok, para achar a inversa, calculamos o determinante:
Então, a inversa é:
Agora, aplicando à coordenada de :
Agora, para encontrar :

Resposta

(a) As matrizes de mudança de base são:
[I]alpha1^alpha = -1 & 1 2 & 1 , [I]alpha^alpha1 = -1/3 & 1/3 2/3 & 1/3 , [I]beta^alpha = 0 & -1 3 & -1 , [I]alpha^beta = -1/3 & 1/3 -1 & 0
(b) As coordenadas do vetor [v]alpha1 = 5 -1 , [v]alpha = -2 3 , [v]beta = -3 -9 nas diferentes bases são:
2 3
© Se [w]alpha1 = 2 -1 , [w]alpha = -1 1 , então:

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