Dadas as bases de e , responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base: e .
(b) Dado o vetor encontre usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor é tal que encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mudança de bases em . A gente vai precisar entender como passar as coordenadas dos vetores de uma base para outra usando matrizes de mudança de base. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma, passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar as matrizes de mudança de base
Primeiro, vamos encontrar as matrizes que fazem a transição entre as diferentes bases , e .
A matriz de mudança de base de para , denotada por , é construída colocando os vetores da base em colunas. Então:
Essa matriz transforma coordenadas da base para a base .

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de para , , precisamos calcular a inversa da matriz que acabamos de encontrar:
Calculando a inversa:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , . Primeiro, colocamos os vetores da base nas colunas:
Para mudar de para , usamos:
Mas primeiro precisamos encontrar , que é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores da base na base :
Então:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , . Para isso, usamos a inversa da matriz :
Calculando a inversa:

Passo 6

Parte (b): Encontrar as coordenadas do vetor nas diferentes bases
Agora que temos as matrizes de mudança de base, vamos usá-las para encontrar as coordenadas do vetor nas bases , e .
Primeiro, na base , que é a base padrão, as coordenadas de são simplesmente .
Para encontrar , usamos a matriz :
Então, .
Para encontrar , usamos a matriz e depois multiplicamos por :

Passo 7

Parte ©: Encontrar e dado
Primeiro, queremos achar . Sabemos que:
Sabemos que é a inversa de :
Calculando a inversa:
A inversa dessa matriz é:
Desculpe, houve uma confusão aqui. De fato, a matriz é:
Sua inversa é:
Ok, para achar a inversa, calculamos o determinante:
Então, a inversa é:
Agora, aplicando à coordenada de :
Agora, para encontrar :

Resposta

(a) As matrizes de mudança de base são:
(b) As coordenadas do vetor nas diferentes bases são:
© Se , então:

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é irracional .
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Verifique se a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes .
Sejam e . Demonstre que não existe uma matriz , tal que .