Quais dos seguintes subconjuntos
de
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
©
é irracional
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que basicamente exigem que o conjunto satisfaça três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos conferir cada uma dessas condições passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Olhando para a definição de
, o primeiro componente
do vetor precisa ser irracional. Mas no vetor zero,
, que é um número racional (já que pode ser escrito como
, por exemplo). Como o vetor zero não está em
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque o vetor zero não pertence a
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial. Mostre que se
é uma base de
então
também é uma base de
.
No espaço vetorial
verifique se os polinômios formam uma base de
:
Dadas as bases de
e
, responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base: e
.
(b) Dado o vetor encontre
usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor é tal que
encontre
e
.
(a) Ache as matrizes mudança de base:
(b) Dado o vetor
© Se um vetor
Verifique se a matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
.