Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de espaço vetorial. Temos um conjunto de vetores que forma uma base para o espaço . A gente precisa mostrar que outro conjunto de vetores, , também forma uma base para o mesmo espaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
Independência Linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser uma base de , ela precisa satisfazer duas condições:
Gerar o Espaço: Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .
Ser Linearmente Independente: Nenhum vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em .
Passo 3
Vamos começar verificando se gera o espaço . Sabemos que gera , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação de , e . Vamos ver se conseguimos expressar , e em termos de , e .
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações para expressar , e em termos de :
Mas vamos simplificar isso resolvendo diretamente:
Para encontrar , e :
Soma dos vetores em :
Portanto,
Agora:
Fazendo as contas, vemos que conseguimos expressar , e em termos de , o que mostra que gera .
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Expandindo:
Agrupando termos:
Como é uma base (e portanto linearmente independente), temos que:
Resolvendo esse sistema:
De , temos
De , substituindo , temos
De , substituindo , temos
Então, e
Isso mostra que a única solução é , o que significa que os vetores em são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, concluímos que é uma base para o espaço vetorial .