Seja V um espaço vetorial. Mostre que se beta=u, v, w é uma base de V então alpha=u+v, u+w, v+w também é uma base de V.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de espaço vetorial. Temos um conjunto de vetores beta = u, v, w que forma uma base para o espaço V. A gente precisa mostrar que outro conjunto de vetores, alpha = u + v, u + w, v + w, também forma uma base para o mesmo espaço V.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
  2. Independência Linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para alpha ser uma base de V, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Gerar o Espaço: Qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em alpha.
  2. Ser Linearmente Independente: Nenhum vetor em alpha pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em alpha.

Passo 3

Vamos começar verificando se alpha gera o espaço V. Sabemos que beta = u, v, w gera V, então qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação de u, v e w. Vamos ver se conseguimos expressar u, v e w em termos de u + v, u + w e v + w.

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para expressar u, v e w em termos de alpha:
u = a(u + v) + b(u + w) + c(v + w) v = d(u + v) + e(u + w) + f(v + w) w = g(u + v) + h(u + w) + k(v + w)
Mas vamos simplificar isso resolvendo diretamente:
Para encontrar u, v e w:
  • Soma dos vetores em alpha: (u + v) + (u + w) + (v + w) = 2u + 2v + 2w
  • Portanto, u + v + w = 12[(u + v) + (u + w) + (v + w)]
Agora:
u = (u + v + w) - v - w = 12[(u + v) + (u + w) + (v + w)] - v - w
Fazendo as contas, vemos que conseguimos expressar u, v e w em termos de alpha, o que mostra que alpha gera V.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores em alpha são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
a(u + v) + b(u + w) + c(v + w) = 0
Expandindo:
a u + a v + b u + b w + c v + c w = 0
Agrupando termos:
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0
Como beta = u, v, w é uma base (e portanto linearmente independente), temos que:
a + b = 0 a + c = 0 b + c = 0
Resolvendo esse sistema:
  • De a + b = 0, temos a = -b
  • De a + c = 0, substituindo a, temos -b + c = 0 Rightarrow c = b
  • De b + c = 0, substituindo c = b, temos b + b = 0 Rightarrow 2b = 0 Rightarrow b = 0
  • Então, a = 0 e c = 0
Isso mostra que a única solução é a = b = c = 0, o que significa que os vetores em alpha são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, concluímos que alpha = u + v, u + w, v + w é uma base para o espaço vetorial V.

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