Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de espaço vetorial. Temos um conjunto de vetores que forma uma base para o espaço . A gente precisa mostrar que outro conjunto de vetores, , também forma uma base para o mesmo espaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
Independência Linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser uma base de , ela precisa satisfazer duas condições:
Gerar o Espaço: Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .
Ser Linearmente Independente: Nenhum vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em .
Passo 3
Vamos começar verificando se gera o espaço . Sabemos que gera , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação de , e . Vamos ver se conseguimos expressar , e em termos de , e .
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações para expressar , e em termos de :
Mas vamos simplificar isso resolvendo diretamente:
Para encontrar u, v e w:
Soma dos vetores em alpha: (u + v) + (u + w) + (v + w) = 2u + 2v + 2w
Portanto, u + v + w = 12[(u + v) + (u + w) + (v + w)]
Agora:
u = (u + v + w) - v - w = 12[(u + v) + (u + w) + (v + w)] - v - w
Fazendo as contas, vemos que conseguimos expressar u, v e w em termos de alpha, o que mostra que alpha gera V.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores em alpha são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
a(u + v) + b(u + w) + c(v + w) = 0
Expandindo:
a u + a v + b u + b w + c v + c w = 0
Agrupando termos:
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0
Como beta = u, v, w é uma base (e portanto linearmente independente), temos que:
a + b = 0 a + c = 0 b + c = 0
Resolvendo esse sistema:
De a + b = 0, temos a = -b
De a + c = 0, substituindo a, temos -b + c = 0Rightarrowc = b
De b + c = 0, substituindo c = b, temos b + b = 0Rightarrow2b = 0Rightarrowb = 0
Então, a = 0 e c = 0
Isso mostra que a única solução é a = b = c = 0, o que significa que os vetores em alpha são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, concluímos que alpha = u + v, u + w, v + w é uma base para o espaço vetorial V.