Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de espaço vetorial. Temos um conjunto de vetores que forma uma base para o espaço . A gente precisa mostrar que outro conjunto de vetores, , também forma uma base para o mesmo espaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
  2. Independência Linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser uma base de , ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Gerar o Espaço: Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .
  2. Ser Linearmente Independente: Nenhum vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em .

Passo 3

Vamos começar verificando se gera o espaço . Sabemos que gera , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação de , e . Vamos ver se conseguimos expressar , e em termos de , e .

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para expressar , e em termos de :
Mas vamos simplificar isso resolvendo diretamente:
Para encontrar , e :
  • Soma dos vetores em :
  • Portanto,
Agora:
Fazendo as contas, vemos que conseguimos expressar , e em termos de , o que mostra que gera .

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Expandindo:
Agrupando termos:
Como é uma base (e portanto linearmente independente), temos que:
Resolvendo esse sistema:
  • De , temos
  • De , substituindo , temos
  • De , substituindo , temos
  • Então, e
Isso mostra que a única solução é , o que significa que os vetores em são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, concluímos que é uma base para o espaço vetorial .

Exercícios relacionados

No espaço vetorial verifique se os polinômios formam uma base de :
Encontre uma base para o subespaço e estenda a uma base de .
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é irracional .
Dadas as bases de e , responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base: e .
(b) Dado o vetor encontre usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor é tal que encontre e .